Bài 5. a/ Xác định các hằng số a, b, c sao cho hàm số:
F(x) (ax = 2 + bx c) 2x 3 + - là một nguyên hàm của hàm số:
20x 2 30x 7 3
- + ỉ ư
f(x) trên khoảng ;
= - ç è + ¥ ÷ ø
2x 3 2
b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.
ĐS: a/ a 4; b = = - 2; c 1; = b/ G(x) (4x = 2 - 2x 10) 2x 3 22. + - -
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
ị
Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dx F(x) C ị = + thì f(ax b)dx 1 F(ax b) C với a 0.
+ = a + + ¹
Giải:
Ta luôn có: f(ax b)dx 1 f(ax b)d(ax b) với a 0.
ị ị .
Áp dụng tính chất 4, ta được: f(ax b)dx 1 (ax b)d(ax b) F(ax b) C (đpcm) 1
+ = + + + +
a a
Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:
ị ị
f(t)dt F(t) C = + Þ f(u)du F(u) C, với u u(x) = + =
Ví dụ 2: Tính các tích phân bất định sau:
ị +
a/ ị (2x 3) dx + 3 b/ ị cos x.sin xdx 4 c/ ị e 1 2e dx x + x d/ (2 ln x 1) dx 2
x
+ +
a/ Ta có: (2x 3) dx 3 1 (2x 3) d(2x 3) 3 1 (2x 3) . 4 C (2x 3) 4 C.
+ = + + = + = +
2 2 4 8
b/ Ta có: cos x.sin xdx 4 cos xd(cos x) 4 cos x 5 C
= - = - 5 +
= + = + +
c/ Ta có: 2e x x dx 2 d(e 1) x x 2 ln(e x 1) C
e 1 e 1
+ = + + = + +
d/ Ta có: (2 ln x 1) 2 dx 1 (2 ln x 1) d(2 ln x 1) 2 1 (2 ln x 1) 3 C.
x 2 2
Ví dụ 3: Tính các tích phân bất định sau:
a/ 2sin 2 x dx
ị 2 b/ ị cot g xdx 2 c/ tgxdx ị d/ ị cos x tgx dx 3
a/ Ta có: 2sin 2 x dx (1 cosx)dx x sin x C
2 = - = - +
ỉ ư
b/ Ta có: cot g xdx 2 1 2 1 dx cot gx x C
= ç è - ÷ ø = - - +
sin x
ị ị ị
d/ Ta có: tgx 3 dx sin x 4 dx d(cosx) 4 1 cos x C 3 1 3 C.
cos x = cos x =- cos x = - 3 - + = - 3cos x +
Ví dụ 4: Tính các tích phân bất định sau:
ị b/ ị x 2 - 3x 2 1 + dx
a/ x dx 2
1 x +
a/ Ta có: x 2 dx 1 d(1 x ) 1 2 2 ln(1 x ) C 2
1 x 2 1 x 2
b/ Ta có: 2 1 dx 1 dx 1 1 dx
= = ç - ÷
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1
- + - - è - - ø
= - - - + = - +
ln x 2 ln x 1 C ln x 2 C.
x 1
-
BÀI TẬP
Bạn đang xem bài 5. - Chuyên đề tích phân
