CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

5. Các bài toán cực trị :

Bài toán 5a :

Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến . Chứng minh rằng :

AB + AC  2AM .

Giải : Lấy A

1

là điểm đối xứng của A qua M ta có : A

ABA

1

C là hình bình hành .

 BA

1

= AC và AA

1

= 2AM

 AB +AC = AB + BA

1

. B C

Lại có : AB + BA

1

> AA

1

M

 AB + AC > AA

1

=2AM => đpcm A

1

Bài toán 5b :

Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì

lớn hơn .

A

M N

B I H C D

Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC)

Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND.

MN = BI =CD .

Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên )

 HI + IB < HC + CD => HB < HD

 NB < ND => NB < MC .

Bài toán 5c :

Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏ

nhất .

Q

N

P’ M

P

HD : Dựng hình bình hành NMPP’ ta đợc :

PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ

Do PP’ = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì P’N +NQ nhỏ nhất .

 P’,N,Q thẳng hàng .

 Dễ dàng suy ra cách dựng .

II . Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông :