TRƯỚC HẾT TA CHỨNG MINH BÀI TOÁN PHỤ

Bài 6. Trước hết ta chứng minh bài toán phụ: Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác (hoặc ở trên một cạnh nhưng không trùng với các đỉnh của tam giác). Chứng minh rằng MB MC AB AC   (h.7.15). Thật vậy, xét ABD, ta có BDAB AD hay MB MD  AB AD . (1) Xét MCD có MC DC MD  . (2) Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: MB MD MC AB AD DC MD      MB MC AB AC  Bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu điểm M nằm trên một cạnh nhưng không trùng với đỉnh của tam giác. Bây giờ ta vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho. Vẽ điểm E đối xứng với D qua đường thẳng AB (h.7.16). Khi đó AEAD ME; MDvà BEBD. Vì điểm M nằm giữa A và B nên hoặc điểm M nằm trong BEC hoặc điểm M nằm trong AEChoặc điểm M nằm trên cạnh EC.      Ta có ME MC AE ACME MC BE BCMD MC BD BC hay MD MC AD AC . Do đó ^{MD MC} ^max



AD AC BD BC ^; 



.