BỔ ĐỀ VỀ HÌNH VUÔNG I11KNE2CHO HÌNH VUÔNG ABCD. NẾU CÁC ĐIỂM M...

Bài 2. Bổ đề về hình vuông

I

1

1

K

N

E

2

Cho hình vuông

_ABCD

. Nếu các điểm

_{M N P Q}

_{, , ,}

lần lượt nằm

O

Q

trên các đường thẳng

_{AB BC CD}

_,

_,

và

_DA

thì

_{MP NQ}

_

_

_{MP NQ}

_

.

Lời giải (hình 103)

D

C

P

H

Ta cần chứng minh bài toán đúng với các điểm

_{M N P Q}

_{, , ,}

nằm trên các

Hình 103

cạnh

AB BC CD DA

_,

_,

_,

(các trường hợp còn lại chứng minh tương tự).

Gọi

_{H K}

_,

lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ

_{M N}

_,

đến hai cạnh

,

CD DA

và

_{E I O}

_{, ,}

thứ tự là giao điểm của

_MH

với

_{NK MP}

_,

với

_NQ

.

Áp dụng định nghĩa vào hình vuông

_ABCD

và tính chất góc đồng vị của

_{KN DC}

_

, ta được













90

⁰

A B C E K N

     

.

Các tứ giác

_{MBHC KNCD}

_,

và

_MBNE

là các tứ giác có ba góc vuông nên chúng là các hình chữ nhật.

a)

_{MP NQ}

_

_

_{MP NQ}

_

.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hai hình chữ nhật

_{MBCH KNCD}

_,

và hình vuông

_ABCD

ta được:















MH

BC NK CD

MH MK







 

 

MHP

NKQ





BC CD MP NQ

MP NQ









(trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Áp dụng tính chất về góc vào hai tam giác bằng nhau ở trên và tính chất của hai góc đối đỉnh ta có





 



  

I

I

O E

M

N

90

 



(vì hai tam giác, có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc thứ ba cũng bằng nhau).



¹



¹





⁰

1

2

Vậy

_MP

vuông góc với

_NQ

tại

_O

.

b)

_{MP NQ}

_

_

_{MP NQ}

_

.

Xét hai tam giác

_MEI

và

_NOI

có

_I

^

₁

_

_I

^

₂

vì đối đỉnh,

_{O E}

^

_{ }

^

₉₀

⁰

suy ra

_M

^

₁

_

_N

^

₁

(1) vì hai tam giác, có

hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau.

Lại có

_H

^

_{ }

_K

^

_{90 ,}

⁰

_MH

_

_NK

(2) theo câu a).

Từ (1) và (2) suy ra

_

_MHB

_{ }

_NKQ

(c-g-c) nên

_{MP NQ}

_

.