4. . . . .2N.(2N+ 2)(A) ĐẶT BN= 1NΑ, TA CÓΑΑ NAN+1= BN+11− 1, ∀NBN =...
2.4. . . . .2n.(2n
+ 2)
(a) Đặt
b
n
=
1
n
α
, ta có
α
n
a
n+1
=
b
n+1
1
−
1
,
∀n
b
n
=
a
n
≤
n
+ 1
≤ · · · ≤
a
1
≤
a
n
Suy ra
a
n+1
=
a
1
,
∀n
b
1
b
n+1
b
n
∞
1
X
Vậy
a
n
≤
a
1
.b
n
,
∀n. Do
α >
1, chuỗi
a
n
hội tụ.
n
α
hội tụ nên chuỗi
3
2
(∗)
(b) Ta có
u
n+1
2(n
+ 2)
≤
n
+ 2
u
n
=
2n
+ 1
2n
+ 4
= 1
−
3
u
n
hội tụ.
Tương tự (7a) với
b
n
=
1
(n
+ 1)
3/2
ta có chuỗi
Ta chứng minh: với
t
∈
[0,
1],
α >
1,
(1
−
t)
α
≥
1
−
αt
Đặt
ϕ(t) = (1
−
t)
α
−
(1
−
αt), ta có:
ϕ
0
(t) =
−α(1
−
t)
α−1
+
α
≥
0
Do
ϕ(0) = 0
nên
ϕ(t)
≥
0,
∀t
∈
[0,
1]
hay
(1
−
t)
α
≥
1
−
αt