225. Để chứng minh bài tốn, ta chỉ ra số y thỏa mãn hai điều kiện : 0 < y < 0,1 (1).
x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2 (2).
Ta chọn y = ( 3 − 2 )
200. Ta cĩ 0 < 3 − 2 < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Điều kiện (1) được chứng
minh.
Bây giờ ta chứng minh x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Ta cĩ :
( ) (
200 ) (
200 ) (
100 )
100x y + = 3 + 2 + 3 − 2 = + 5 2 6 + − 5 2 6 .
Xét biểu thức tổng quát S
n = a
n + b
n với a = 5 + 2 6 , b = 5 - 2 6 .
S
n = (5 + 2 6 )
n = (5 - 2 6 )
nA và b cĩ tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X
2 -10X + 1 = 0, tức là : a
2 =
10a – 1 (3) ; b
2 = 10b – 1 (4).
Nhân (3) với a
n , nhân (4) với b
n : a
n+2 = 10a
n+1 – a
n ; b
n+2 = 10b
n+1 – b
n.
Suy ra (a
n+2 + b
n+2) = 10(a
n+1 + b
n+1) – (a
n + b
n),
tức là S
n+2 = 10S
n+1 – S
n , hay S
n+2 ≡ - S
n+1 (mod 10)
Do đĩ S
n+4 ≡ - S
n+2 ≡ S
n (mod 10) (5)
Ta cĩ S
0 = (5 + 2 6 )
0 + (5 - 2 6 )
0 = 1 + 1 = 2 ; S
1 = (5 + 2 6 ) + (5 - 2 6 ) = 10.
Từ cơng thức (5) ta cĩ S
2 , S
3 , … , S
n là số tự nhiên, và S
0 , S
4 , S
8 , … , S
100 cĩ tận cùng bằng 2, tức là
tổng x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Điều kiện (2) được chứng minh. Từ (1) và (2) suy ra
điều phải chứng minh.
Bạn đang xem 225. - TÀI LIỆU 270 BAI VA DAP AN BOI DUONG HS GIOI NANG KHIEU