CHO A, B, C, D LÀ CÁC SỐ NGUYÊN THOẢ A ≤ B ≤ C ≤ D VÀ A + D = B + C. A...

Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có thể đặt a = b – k và d = c + h (h, k ∈ N)Khi đó do a + d = b + c ⇔ b + c + h – k = b + c ⇔ h = k.Vậy a = b – k và d = c + k.Do đó: a

²

+ b

²

+ c

²

+ d

²

= (b – k)

²

+ b

²

+ c

²

+ (c + k)

²

= 2b

²

+ 2c

²

+ 2k

²

– 2bk + 2ck = b

²

+ 2bc + c

²

+ b

²

+ c

²

+ k

²

– 2bc – 2bk + 2ck + k

²

= (b + c)

²

+ (b – c – k)

²

+ k

²

là tổng của ba số chính phương (do b + c, b – c – k và k là các số nguyên)b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k

²

= bc + k(b – c) – k

²

≤ bc (vì k ∈ N và b ≤ c)Vậy ad ≤ bc (ĐPCM)