TRÍCH ĐỀ HỌC SINH GIỎI CỦA HÀ NỘI NĂM 2008 - 2009CHỨNG MINH RẰ...
Bài 37.
Trích đề học sinh giỏi của Hà Nội năm 2008 - 2009
Chứng minh rằng với mọi
m
phương trình
x
3
+
3(m
+
1)x
2
+
3(m
2
+
1)x
+
m
3
+
1
=
0
luôn có nghiệm
duy nhất.
Giải
Xem pt :x
3
+
3(m
+
1)x
2
+
3(m
2
+
1)x
+
m
3
+
1
=
0
(1)
là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
hàm số
y
=
x
3
+
3(m
+
1)x
2
+
3(m
2
+
1)x
+
m
3
+
1
(∗)
và trục hoành.
Có
y
0
=
3x
2
+
6(m
+
1)x
+
3(m
2
+
1)
Thực hiện phép chia
y
cho
y
0
ta được
1
.y
0
−
2mx
+
m
3
−
m
2
y
=
3
x
+
m
+
1
3
Suy ra pt đường thẳng đi qua 2 cực tri là
y
=
−2mx
+
m
3
−
m
2
Để pt
(1)
có một nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số
(∗)
cắt trục hoành tại một điểm duy nhất
18m
−
8
≤
0
∆
0
≤
0
⇔
(∗∗)
18m
−
8
>
0
∆
0
>
0
(−2mx
cd
+
m
3
−
m
2
)(−2mx
ct
+
m
3
−
m
2
)
>
0
y
cd
.y
ct
>
0
x
cd
+
x
ct
=
−2(m
+
1)
Theo vi-et thì:
x
cd
.x
ct
=
m
2
+
1
m
≤
2
9
9
⇒ ∀m
Lúc đó hpt
(∗∗)
trở thành:
m
>
2
4m
2
(m
2
+
1) + (m
−
1)
2
m
3
(4m
+
1)
>
0
Vậy
∀m
pt đã cho luôn có một nghiệm duy nhất.