(2,0 ĐIỂM) CHO  ABCCÓ BA GÓC NHỌN . VẼ ĐƯỜNG TRÒN   O ĐƯỜNG...

Bài 4. (2,0 điểm) Cho

 ABC

có ba góc nhọn . Vẽ đường tròn

  ^O

đường kính

BC

, đường tròn này cắt

AB

và

AC

lần lượt ở

D

và

E

;

BE

và

CD

cắt nhau tại

H

. a) Chứng minh tứ giác

ABHE

nội tiếp được một đường tròn. b) Chứng minh:

AC AE .  AB AD .

. c)

AH

kéo dài cắt

BC

tại

F

. Chứng minh rằng

H

là tâm đường tròn nội tiếp

 DEF

. Lời giải

A

a) Xét

  ^O

^có: BDC BEC 90   ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

BE AC;CD AB ADH AEH 90

 

      

E

Xét tứ giác

ADHE

có: ADH AEH 90      90 180

D

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

H

Nên tứ giác

ADHE

nội tiếp (dhnb) b) Xét

 ADC

và

 AEB

có:      ADC AEB 90ADC AEB g.g

 

 #BAC chung

B C

F

O

AD AC

   

AD.AB AE.AC

AE AB

c) Xét

 ABC

có: BEAC;CDABmà

 

BE CD   H

Nên H là trực tâm

 ABC

mà

^{AH BC  }   ^{F  AF  BC}

Xét tứ giác

FHEC

có: HEC HFC 90      90 180Nên tứ giác

FHEC

nội tiếp(dhnb) HEF HCF  (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HF)(1) Xét

  ^O

^có:

^{DEB DCB}

^{ }

^

( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD)(2) Từ (1) và (2) ta có:

DEH HEF

 



Nên EH là tia phân giác của

DEF

(1) CMTT ta có FH là tia phân giác của

DFE

(2) Từ (1) và (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp

 DEF