CHO TAM GIÁC ABC NHỌN NỘI TIẾP DƯỜNG TRÒN ( )O (AB AC). D LÀ ĐIỂM NẰ...

Câu 10:

Cho tam giác

ABC

nhọn nội tiếp dường tròn

( )

O

(AB



AC

).

D

là điểm nằm trên cung

nhỏ

BC

(

D



B DB

,



DC

).

Lấy điểm

E

thuộc đọn thẳng

AD

sao cho

AE



ED E

(



D

).

Đường tròn đường kính

ED

cắt đường tròn

( )

O

tại điểm

F F

(



D F

,



B F

,



C

).

Đường

thẳng

DO

và

AF

cắt đường tròn đường kính

ED

lần lượt tại các điểm

, (

,

).

M N M



D N



F

Kẻ đường kinh

DK

của đường tròn

( )

O

. Chứng minh:

a) Ta có



DME



90



(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

DE

);



90 .

EM

DK

EMK











và

DAK





90



(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

^{( )}

^O

.



EAK





90



Xét tứ giác

AEMK

có





90

90

180

EAK EMK





 

 

 

tứ giác

AEMK

nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai

góc dối bằng 180



). Vậy bốn điểm , ,

A E M K

,

cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có

EFD





90



(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

ED

)



EF



FD

Tương tự

DFK





90



(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

^{( )}

^O



KF



FD

Từ (1) và (2) suy ra

E

,

F

,

K

thẳng hàng. Xét đường tròn đường kính

ED

, ta có





(2

NFE



NDE

góc nội tiếp cùng chắn

NE



) hay



AFK





NDE

Lại có



AFK





ADK

(2

góc nội tiếp cùng chắn



AK

) hay



AFK





EDM

. Từ (3) và (4) suy ra





NDE



EDM

(cùng bằng



AFK

).

Xét



EDN

và



EDM

có





90

END



EMD





ED

: cạnh chung.

NDE



EDM

(chứng minh trên).

EDN

EDM

 



(cạnh huyền - góc nhọn)

(2

ND

MD





cạnh tương ứng).

Xét



NAD

và



MAD

có

.

ND



MD

:

AD

cạnh chung.

NDA



MDA

(chứng minh trên).

NDA

MDA

 



(cạnh - góc - cạnh).