CHO PHƯƠNG TRÌNH X2 (M 2)X 3=0 (M LÀ THAM SỐ). CHỨNG MINH RẰN...
2. Cho phương trình x
2 (m 2)x 3=0 (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình
luôn có hai nghiệm phân biệt x
1; x
2với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn
hệ thức: x
1
2
2018 x
1
x
2
2
2018 x
2
Giải.
Cách 1. Ta có: =(m 2)
2+3 >0, m vì (m 2)
2 0, m
phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x
1; x
2với mọi m.
x x m 2 (1)
Áp dụng hệ thức Viét ta có:
1
2
x x 3 (2)
1 2
x
12+ x
22=(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=(m 2)
2+6 (3)
Theo bài ra: x
1
2
2018 x
1
x
2
2
2018 x
2
(3)
2
2
(x 2018) x 2018
1
1
x 2018 x x 2018 x
1
1
2
2
x
1
2
2018 x
1
x
2
2
2018 x
2
(4)
Trừ vế với vế của (3) và (4) ta được 2x
1=2x
2 x
1= x
2(5)
Không mất tính tổng quát giả sử x
1<x
2. Từ (5) x
1<0<x
2Thế (5) vào (2) được: (x
1)
2=3 x
1= 3 x
2= 3
Thế vào (1) được 0=m 2 m=2
Vậy m=2 là giá trị cần tìm.
Cách 2. Ta có: =(m 2)
2+3 >0, m vì (m 2)
2 0, m
Theo bài ra ta có:
2
x 2018 x x 2018 x x
1
2
2018 x
2
2
2018 x
1
x
2
( x
1
2
2018 x
2
2
2018)
2
(m 2)
2
(theo (1))
(x
1
2
2018) (x
2
2
2018) 2 (x
1
2
2018)(x
2
2
2018) (m 2)
2
(x
1
2
x ) 4036 2 (x x )
2
2
1 2
2
2018(x
1
2
x ) 2018
2
2
2
(m 2)
2
(m 2)
2+4042 2 9 2018[(m 2) 6)] 2018
2
2
=(m 2)
2 4042 2 9 2018[(m 2) 6)] 2018
2
2
=0
9 2018[(m 2) 6)] 2018
2
2
=2021
2018[(m 2)
2+6]+4072333=4084441
2018[(m 2)
2+6]=12108
(m 2)
2+6=6 (m 2)
2=0 m=2
Thử lại, với m=2 phương trình đã cho trở thành: x
2 3=0 có hai nghiệm x
1= 3 ;
x
2= 3 . Thỏa mãn đẳng thức: x
1
2
2018 x
1
x
2
2018 x
2