X≥1 − + − + =2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1,5 ĐK:
x
≥
1
−
+
−
+
=
2 Giải hệ phương trình:( )( )
2 (
1)
1 2
1
0
x x
y
y
2
2
2
1 6
1,5y
x
y
xy
+
+
+ =
+
=
+
+
2
2
2
2
2
1 (1)
x
y
x
y
Hệ phương trình tương đương với2
2
1 6
(2)
Thay 2x + y + 1 = 2x2
+2y2
từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta có: =x y2x +4y =6xy2
3 22
0⇔ − + = ⇔x xy y2 = 0,5
−
−
Vớix
=
y
suy ra nghiệm:(
1;1 ,
)
1
;
1
4
4
0,5
±
±
Với x=2ysuy ra nghiệm:5
65 5
;
65
10
20
0,5 III Chứng minh rằng:2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
a
bc
b
ca
c
ab
−
−
−
+
+
≥
2
2
2
a
b
c
b
c
a
c
a
b
+
+
+
+
+
+
1,0 a bc b ca c ab− − −Ta có:2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0+ + ≥2 2 2a b c b c a c a b+ + + + + +2 2 2 2 2 21 1 1 3⇔ − + − + − ≥ −2
2
2
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( )b c c a a b+ + +2 2 2 3⇔ + + ≤+ + + + + + 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : ( )b c b cc a c a+ ≥ +2
2
2
2
2
2
2
+ + + + ; b c b a b c a+ + + + ;2
2
2
2
2
2
2
(2
)2
2
a b a c a b ca b a bc a c b c a b+ + + + 0,25 Suy ra:(
)
(
)
(
)
+
+
+
b
c
c
a
a
b
+
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
3
≤
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
c
b
c
b
a
c
a
c
b
+
+
+
+
+
+
0,25 Vậy ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 0,25 IV 3,0