TÌM HAI ĐIỂMA,BTHUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐY=X3−3X+2SAO CHO CÁC TIẾP TUY...
Bài 35.
Tìm hai điểm
A,
B
thuộc đồ thị hàm số
y
=
x
3
−
3x
+
2
sao cho các tiếp tuyến tại
A,
B
có cùng hệ số góc
và đường thẳng đi qua
A,
B
vuông góc với đường thẳng
x
+
y
+
2011
=
0
Giải
Cách 1
Xét
A(a;
a
3
−
3a
+
2);
B(b;
b
3
−
3b
+
2)(a
6=
b)
thuộc đồ thị hàm số đã cho. Tiếp tuyến tại
A
có hệ
số góc
k
A
=
3a
2
−
3. Tiếp tuyến tại
B
có hệ số góc
k
B
=
3b
2
−
3
Do tiếp tuyến tại
A
và
B
có cùng hệ số góc nên
k
A
=
k
B
⇔
3a
2
−
3
=
3b
2
−
3
⇔
(a
−
b)(a+
b) =
0
⇔
a
=
−b
Từ đó có
−
→
AB
= (b
−
a;
b
3
−
3b
+
2
−
a
3
+
3a
−
2) = (2b; 2b
3
−
6b)
Mặt khác đường thẳng
d
:
x
+
y
+
2011
=
0
có
−
→
u
= (1;
−1)
"
b
=
0
⇒
a
=
0(l)
Vì
AB⊥d
nên
−
→
AB.
−
→
u
=
0
⇔
2b(b
2
+
4) =
0
⇔
b
=
±2
⇒
a
=
±2
Vậy có 2 điểm
A,
B
với
A(−2; 0),
B(2; 4)
hoặc ngược lại thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2
-Điều kiện
(1): Phương trình
f
0
(x) =
k
có hai nghiệm phân biệt ...(Tự tìm)
y
=
x
3
−
3x
+
2
-Tọa độ
A,
B
là nghiệm của hệ
k
=
3x
2
−
3
k
x
+
2
- Suy ra phương trình đường thẳng
AB
là
y
=
3
−
2
- Điều kiện vuông góc suy ra
k
=
9.
- Tìm giao điểm đường thẳng
AB
và đồ thị ta có
A(2; 4).,
B(−2; 0)