BÀI TỐN VỀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

6. Bài tốn về tương giao đồ thị: Đề MH2 cĩ 3 câu về chủ đề này (2NB, 1VDC)

A. Lý thuyết:

Cho hàm số

y

=

f x

( ) cĩ đồ thị

( )

C

₁

và

y

=

g x

( )

cĩ đồ thị

( )

C

₂

.

Phương trình hồnh độ giao điểm của

( )

C

₁

và

( )

C

₂

là

^{f x}

^{( )}

⁼

^{g x}

^{( ) 1}

( )

^{. Khi đĩ:}

•

Số giao điểm của

( )

C

₁

và

( )

C

₂

bằng với số nghiệm của phương trình

( )

1 .

•

Nghiệm x

₀

của phương trình

( )

¹

chính là hồnh độ x

₀

của giao điểm.

•

Để tính tung độ

y

₀

của giao điểm, ta thay hồnh độ

x

₀

vào

^y

⁼

^{f x}

( )

^hoặc

( )

=

y

g x

.

•

Điểm

M x y

(

₀

;

₀

)

là giao điểm của

( )

C

₁

và

( )

C

₂

.

B. Các ví dụ:

Ví dụ 21.

C17 MH2 2020: Cho hàm số bậc bốn

y f x

=

( )

cĩ đồ thị trong hình bên. Số nghiệm của phương

trình

f x

( )

= −

1

là

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Hướng dẫn

NX: Hướng dẫn cho hs vẽ thêm lên trên hình đường thẳng

y

= −

1.

Sau đĩ thì đếm số giao điểm.

Số nghiệm của phương trình

f x

( )

= −

1

là số giao điểm của đồ thị hàm số

y f x

=

( )

và đường thẳng

1

x

= −

. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số

y f x

=

( )

cắt đường thẳng

x

= −

1

tại bốn điểm phân biệt.

Chọn D.

( )

f x

Ví dụ 22.

C23 MH1 2020. Cho hàm số

cĩ bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình

³

^{f x}

( )

^{− =}

^{2 0}

là

A.

2

.

B.

0

.

C.

3

.

D.

1

.

NX: Hướng dẫn cho hs biến đổi về dạng: VT là cơng thức đã cĩ BBT (f(x)), VP là các biểu thức cịn lại.

Sau đĩ vẽ thêm lên trên BBT đồ thị của cĩ cơng thức là VP. Đếm số giao điểm.

f x

f x

, kết hợp bảng biến thiên suy ra PT cĩ 3 nghiệm.

Từ

3

( )

2 0

( )

²

( )

0;1

− = ⇒

= ∈

3

Chọn C.

Ví dụ 23.

C30 MH2 2020: Số giao điểm của đồ thị hàm số

y x

=

³

−

3

x

+

1

và trục hồnh là

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

NX: Bài này cĩ thể cho hs lập BBT rồi quan sát số giao điểm với Ox.

Cách khác thì ta cĩ thể xét dựa trên số cực trị của hàm và giá trị cực trị của nĩ.

Ta cĩ

y

′ =

3

x

³

− = ⇔ = ±

3 0

x

1

. Hàm số cĩ hai cực trị.

Mặt khác

y

( ) ( )

−

1 . 1

y

= − <

3 0

nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về phía phải của trục hồnh.

Nên đồ thị hàm số đã cho cắt trục

Ox

tại ba điểm phân biệt.

Chọn A.

Ví dụ 24.

C46 MH2 2020: Cho hàm số

f x

( )

cĩ bảng biến thiên như sau:

0;

5

Số nghiệm thuộc đoạn



π







2

của phương trinh

f

(sin ) 1

x

=

là





A. 7.

B. 4.

C. 5

D. 6.

NX: Bài này là VDC, nĩ liên quan tương giao của hàm hợp. Dành cho các em cần điểm cao.

Từ bảng biến thiên của hàm số

y f x

=

( )

. Ta thấy phương trình

f x

( )

=

1

cĩ bốn nghiệm phân biệt lần lượt

là:

t

₁

< − < < < < <

1

t

₂

0

t

₃

1

t

₄

.

x t l

sin





x t t m

sin

/



=

2

sin

1

f

x

Do đĩ

( )

= ⇔ 



=

3



4



π



Xét hàm số

t

=

sin

x

trên

0;

5

t

′ =

x

= ⇔ = ∨ =

x

π

x

π

∨ =

x

π

(trên

0;

5

2

2

2





. Khi đĩ:

cos

0

3

5





).

Ta cĩ bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên của hàm số

t

=

sin

x

, ta thấy phương trình:

+

sin

x t

= ∈ −

₂

(

1;0

)

cĩ hai nghiệm phân biệt trên

0;

5





.

+

sin

x t

= ∈

₁

( )

0;1

cĩ ba nghiệm phân biệt trên

0;

5





. Chọn C.

Ví dụ 25.

C45 MH1 2020. Cho hàm số

cĩ bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn

[

⁻

^{π π}

^;2

]

của phương trình

2 sinx 3 0

f

( )

+ =

là

A.

4

.

B.

6

.

C.

3

.

D.

8

.

f t

f t

cĩ hai nghiệm đối nhau là

Đặt

^sin

^{x t}

^{= ∈ −}

[

^1;1

]

. Trước hết xét

2

( )

3 0

( )

³

+ = ⇔

= −

2

(

1;1

)

= ± ∈ −

t

a

.

+ Trở về phương trình

^sin

^x

^{= − ∈ −}

^a

(

^{1;0 ,}

)

^x

^{∈ −}

[

^{π π}

^;2

]

, phương trình này cĩ 4 nghiệm (Nhưng chỉ

cĩ hai điểm cuối).

+ Trở về phương trình

^sin

^{x a}

^{= ∈}

( )

^{0;1 ,}

^x

^{∈ −}

[

^{π π}

^;2

]

, phương trình này cĩ hai nghiệm.

C. Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ơn)