(3,0 ÑIỂM) CHO CÁC SỐ THỰC DƯƠNG A, B, C. CHỨNG MINH RẰNG

Câu 5: (3,0 ñiểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1( )ab bc caa b c2 2 2 4+ + + + + +a b c+b c a+c a b≤ + +Lời giải  ≤ _ + _Ta chứng minh bất ñẳng thức ^{1 1 1 1}+ _{ }4x y x y với x, y > 0. Thậy vậy, với x, y > 0 thì:   +x y1 1 1 1 1

2

2

2

≤  + ⇔ ≤ ⇔ + ≥ ⇔ + + − ≥x y xy x xy y xy( ) 4 2 4 0+   +4 4x y x y x y xy⇔x − xy+y ≥ ⇔ x−y ≥ (luôn ñúng)2 0 ( ) 0Do ñó: ^{1 1 1 1}Áp dụng bất ñẳng thức trên ta có: 1 1 1( 1 1 ) 1 1ab ab= ≤ + ⇒ ≤ _ + _2 ( ) ( ) 4 2 4+ + + + + + + + +  + + a b c a c b c a c b c a b c a c b c  1 1bc bc _{+ + + +}  b c a b a c a2 4  Tương tự ta có: ca ca ≤ _ + _ _{+ +  + + }c a b c b a bCộng vế với vế các bất ñẳng thức với nhau ta ñược: 1 1 1 1 1 1     ab bc ca ab bc ca+ + ≤ _ + _+ _ + _+ _ + _2 2 2 4 4 4+ + + + + +  + +   + +   + + a b c b c a c a b a c b c b a c a c b a b1 ab ab bc bc ca ca=  + + + + + + + + + + + a c b c b a c a c b a b1 1 ( ) ( ) ( ) 1 + + +   + + + ab bc ab ca bc ca b a c a b c c b a( )=  + + + + + =  + + + + + = + +4 4 4a c c b b a a c c b b aVT ≤ VP (ñpcm). Do ñó ¹Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.