PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG

3) Phương trình có dạng: ^_^{f x}

( )

^{ }_{ }^{= g x}

( )

^_ * Cơ sở phương pháp: Đặt ^_^{f x}

( )

^{ }_{ }^{= g x}

( )

^_^{=t suy ra f x}

( ) ( )

^{−g x <1, dẫn đến a< <x b.}< <Với a< <x b suy ra

( )

1

1

a f x b ,

( )

 từ đó tìm được

t

.

a f x b

2

2

 =f x t  để tìm x.Ứng với mỗi giá trị của

t

nguyên, giải hệ

( )

 =g x tTập hợp các giá trị x tìm được từ hệ trên sẽ là nghiệm của phương trình. * Ví dụ minh họa:



 

=



x

−

x

+

Bài toán 1. Giải phương trình

²

¹

¹

.



 





 



3

2

Hướng dẫn giải Theo tính chất 10 thì nếu

[ ] [ ]

^{a = b} _thì ^{a− <b 1}



 

=



=

∈

x

x

Đặt

²

¹

¹

( )

^.

−

+

t t



 





Theo tính chất chứng minh trên ta có

2

1

1

5

x

x

x

1

1

1

1

11.

−

−

+

< ⇔ − <

−

< ⇔ − < <

x

Khi đó

3

2

6

  +  < + <  ≤ ≤1 0 1 5x x0 6 ⇒  2 2 Suy ra

t

∈

{0;1; 2;3; 4;5}.

 −   − 2 1 2 1 .− < < − ≤ ≤1 7 1 6    

CH UY ÊN Đ Ề SỐ H Ọ C

3 3

 ≤

−

<



2

1

x

0

1

1



≤ <

−

+







 

=



= ⇔



⇔



⇔ ≤ <

2

1

1

3

2

1

Với t=0 thì

0

2

1.



 



+



 







≤

<

− ≤ <



3

2

2

1

0

1

2

1

2

7



 

=



= ⇔



⇔



⇔ ≤ <

2

1

1

3

2

Với t=1 thì

1

2

2

3.



 







≤

<

 ≤ <



1

3

1

2

7

2

3

2

1

1

3

5

7

Với t=2 thì

2

2

5.

3

5

11

3

4

2

1

1

3

5

11

Với t=3 thì

3

2

5

.

3

2

1

2

5

7

4

5

13

2

1

1

3

8

Với t=4 thì

4

2

7

8.

7

9

4

5

19

5

6

2

1

1

3

8

19

Với t=5 thì

5

2

9

.

9

11

Vậy tập nghiệm của phương trình là

[

^{0, 5;1}

)

^∪

[

^2;3

)

^∪

[

^{3, 5;5, 5}

] [

^{∪ 7;8}

)

^∪

[

^{9;9, 5 .}

)

Bài toán 2. Giải phương trình

[

^x

⁻

^{2, 3}

] [

⁼

⁴

⁻

^x

]

^.

Theo tính chất 10 thì nếu

[ ] [ ]

^{a = b} _thì ^{a− <b 1 suy ra:}

[

^{2, 3}

] [

⁴

]

¹

(

^{2, 3}

) (

⁴

)

¹

−

=

−

⇒ − <

−

−

−

<

x

x

x

x

⇔ − <

−

< ⇔

< <

1

2

6, 3

1

2, 65

3, 65.

Suy ra

0, 35

< −

x

2, 3

<

1, 35

. Do đó

[

^x

⁻

^{2, 3}

]

⁼

⁰

^hoặc

[

^x

⁻

^{2, 3}

]

⁼

^1.

Vì

2, 65

< <

x

3, 65

nên

0, 35

< − <

4

x

1, 35

suy ra

[

⁴

⁻

^x

]

⁼

⁰

^hoặc

[

⁴

⁻

^x

]

⁼

^1.

Trường hợp 1:

[

^x

⁻

^{2, 3}

] [

⁼

⁴

⁻

^x

]

⁼

⁰

Ta có

[

⁴

⁻

^x

]

^{= ⇔ ≤ −}

⁰

⁰

^x

^{2, 3}

^{< ⇒}

¹

^{2, 3}

^{< <}

^x

^{3, 3}

Kết hợp hai điều kiện ta được:

³

< <

^x

^{3, 3.}

Trường hợp 2:

[

^x

⁻

^{2, 3}

] [

⁼

⁴

⁻

^x

]

⁼

^1.

Ta có:

[

^x

⁻

^{2, 3}

]

^{= ⇔ ≤ −}

¹

¹

^x

^{2, 3}

^{< ⇔}

²

^{3, 3}

^{≤ <}

^x

^{4, 3;}

[

⁴

⁻

^x

]

= ⇔ ≤ − < ⇔ < ≤

¹

¹

⁴

^x

²

²

^x

^3.

Không có x nào thỏa mãn hai điều kiện trên. Từ hai trường hợp ta có nghiệm của phương trình là

³

< <

^x

^{3, 3}