VỚI CÁC SỐ THỰC KHÔNG ÂM A, B, C THỎA MÃN A B C   3. TÌM GI...

Bài 5. Với các số thực không âm

a

,

b

,

c

thỏa mãn

a b c   

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1P ab bc ca   2abcLời giải Do vai trò của

a

,

b

,

c

như nhau nên giả sử c a ,

c b 

nên suy ra 3c a b c

  

Hay 3

c 

3 

c  

1 2  2

  c

0P ab bc ca    abc bc ca  ab c  + Ta có ¹



²



⁰2 2 0bc caSuy ra MinP



0 khi và chỉ khi ,   ab c

 

2 02  a b c3giải ra ta được



a b c^{; ;}

 





3; 0;0 ; 0;3; 0 ; 0;0;3

     

. + Có

a 

1;

b 

1;

c 

1 luôn tồn tại 2 số cùng không âm hoặc cùng không dương nên tích 2 ố bất kỳ sẽ không âm (Theo nguyên lý Dirichle). Vì vai trò , ,a b c có vai trò như nhau nên giả sử 2 số đó là

a 

1 và

b 

1 Suy ra

 ^{a }

¹

 ^{b  }

¹



^{0 }

^{ab a b    }

^{1 0 }

^{ab a b   }

^1

^{ abc    ac bc c }

    .  1 1 1 12 abc 2 ac 2bc 2cKhi đó 1 1 1 1P ab bc ca    abc ab bc ca    ac bc c 2 2 2 2P ab bc ac c ab c a b c a b c c c            (Bđt Cauchy) Hay ^{1 1 1 1}

 

¹

 

²

¹



³



¹2 2 2 2 2 4 2 2



³



²

¹



³



^{1 9 6}

²

^{6 2}

²

²c c c c c cP   c  c c      4 2 2 4

 

²

c c c

2

2 9 1 10 10P         hay 54 4 4P2 . c1     a b a b c3 1Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi       

  

1 1 0a bVậy 5max 2P  

a b c   

1 min 0P  



a b c^{; ;}

 





3; 0;0 , 0;3; 0 , 0;0;3

     