LẤY ĐIỂM A TRÊN  O R ;  , VẼ TIẾP TUYẾN AX

2.

Lấy điểm A trên  ^{O R ;}  , vẽ tiếp tuyến Ax . Trên tia Ax lấy điểm B , trên  ^{O R ;}  ^{lấy điểm}

C sao cho BC AB  .

a) Chứng minh rằng: CB là tiếp tuyến của   ^O .

b) Vẽ đường kính AD của   ^O , kẻ đường CK vuông góc với AD .

Chứng minh rằng CD OB // và BC DC CK OB .  . .

c) Lấy điểm M trên cung nhỏ AC của   ^O , vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB BC , lần

lượt tại , . E F

Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE . Chứng minh rằng  MAC ~  IFE

Lời giải

B

I F

M

C

E

K D

A O

a) Xét  AOB và  COB , có:

AB BC  (gt)

OB chung

 

OA OC   R

     

( )

AOB COB c c c

Suy ra BAO BCO      90

Nên BC là tiếp tuyến của   ^O

b) Ta có  ACD nội tiếp   ^{O , AD} là đường kính   ACD   90 hay CD  AC

Lại có OB  AC (O và B cách đều A và C)

Suy ra CD // OB (Từ vuông góc đến song song).

Ta có:  KCD  CAO  (cùng phụ góc  KDC ).

Mà CAO    ACO (OA = OC = R).

Nên   KCD  ACO (Tính chất bắt cầu).

Suy ra BOC CDK    (cùng phụ với   ACO KC , D )

(Cách khác: Ta có BOC OCD    (SLT), mà OCD ODC    (do OC = CD = R) nên

  BOC CDK  (Tính chất bắt cầu) ).

Xét  BCO và  CKD , có

  BOC CDK  (cmt)

   ⁹⁰ 

BCO CKD   

   

~

BCO CKD g g

BC BO

   

. . .

BC DC CK OB

CK CD

c) Ta có EI là tia phân giác của góc BEF  (gt)

và EO là tia phân giác của góc  AEM (định lý)

Suy ra EI  EO . Mà AM  EO nên EI // AM.

Chứng minh tương tự ta được OF  IF và IF // MC.

Từ đó: IEF    EMA (slt) và IFE    FMC (slt).

Lại có: IEF IFE     180    EIF

  180 

EMA  FMC    AMC

Suy ra EIF    AMC   ¹

Ta có:   ^{IFE IBF   1} ₂    ^{EBF EFB }  ^{ 1} ₂  ^{180   BEF } 

Lại có:

 

  

180

BEF MEA

      MOA BEF 

MEA

MOA

Suy ra

  ¹ ₂  ¹⁸⁰   ¹ ₂  ^{ }  ¹ ₂ ^{.2.  }

IFE IBF     MOA  MAO AM  O  MAO  M AO

  

  

IFE MAO IBF

Lại có   IBC KC  D (vì  BCO ~  CKD cmt ( ) )

nên  IFE MAO KCD MAO KAC MAC              ²

Từ   ^{1 và}   ^{2 Suy ra  MAC ~  IFE (g.g).}

Bài V (0,5 điểm) : Cho , , x y z  0 và xy yz zx    3 xyz .

2 2 2

x y z

Tính giá trị nhỏ nhất của:

A  z z x  x x y  y y z

     

2 2 2 2 2 2

  

Lời giải:

      

Từ 1 1 1

3 3.

xy yz zx xyz

Đặt 1 a , 1 b , 1 c

x  y  z  ta được a b c    3 và , , a b c  0

2 3

y a

z b

x c

Lúc đó

  ;

  ;

 

2 2

a c

a b

b c

y y z 

x x y 

z z x 

Khi đó ₂ a ³ _{2 2} b ³ _{2 2} c ³ ₂

A  a b  b c  a c

Xét : ₂ a ³ ₂ a ₂ ab ² ₂

a b   a b

ab b b a b

Ta có ₂ ² ₂   ^{2 0}

 đúng với mọi , a b  0 , Dấu bằng   a b .

2

a b    

3 2

a ab b

a a

Suy ra

2 2 2 2 (1)

a b   a b  

3

c a

a c   c

Tương tự với , , a b c  0 ta được:

b c   b

 ;

 .

2 2 (3)

2 2 (2)

      

a b c a b c

Từ (1), (2), (3) ta có: ₂ ³ _{2 2} ³ _{2 2} ³ ₂ 3

A a b b c a c

Dấu bằng         a b c 1 x y z 1.

Vậy A min = 3

2 khi x    y z 1.