CHO TAM GIÁC ABC. CHỨNG MINH RẰNG

2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H. Chứng minh rằng HAHA. ' HB HB. ' HC HC. 'Lời giải(hình 2.17) Ta có BB C' BC C' 90

⁰

suy ra tứ giác ABCB C nội tiếp trong đường tròn (C) đường kính BC. Do ' 'đó HB HB. ' HC HC. ' (vì cùng bằng phương tích từ điểm C' B'H tới đường tròn (C)) (1) HTương tự tứ giác ACA C' ' nội tiếp được nên HAHA HC HC (2) . ' . 'Từ (1) và (2) suy ra B A' CHAHA HB HB HC HC . . ' . ' . '

Hình 2.17

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua điểm P và vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng AB

²

CD

²

không đổi. b) Chứng minh rằng ^PA

²

^PB

²

^PC

²

^PD

²

không phụ thuộc vị trí điểm P. Lời giải(hình 2.18) a) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD suy ra OE AB và OF CD

C

Ta có AB

²

CD

²

2AE

²

2CF

²

AO

²

OE

²

CO

²

OF

²

4 4

O

F

4 2 4 2R

²

OE

²

OF

²

R

²

OP

²

P

A B

Suy ra AB

²

CD

²

không đổi.

E

b)

D

Hình 2.18

PA

²

PB

²

PC

²

PD

²

PA PB

²

PC PD

²

2PAPB 2PC PD. .AB

²

CD

²

2PAPB 2PC PDMặt khác theo câu a) ta có AB

²

CD

²

4 2R

²

OP

²

và P

P O

PAPB PC PD PO

²

R

²

( )

. .Suy ra PA

²

PB

²

PC

²

PD

²

4 2R

²

OP

²

4 PO

²

R

²

4R

²

Vậy ^PA

²

^PB

²

^PC

²

^PD

²

không phụ thuộc vị trí điểm P. Ví dụ 3: Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng vuông góc với AB ở HH A H, B . Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và các đường thẳng AM, AN lần lượt cắt ở M', N'. Group: https://traloihay.net a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn (C) nào đó. b) Chứng minh rằng các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định Lời giải(hình 2.19) a) Vì M HB' M MB' 90

⁰

nên tứ giác BHM M' nội tiếp được suy ra AH AB AM AM (1). . '.Tương tự Vì N HB' N NB' 90

⁰

nên tứ giác MEHBN N' nội tiếp được suy ra M'AH AB AN AN (2). Từ (1) và (2) suy ra AM AM'. AN AN'.PA HBQSuy ra bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn. FNb) Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường tròn (C) với đường thẳng AB và E, F lần lượt là giao điểm N'

Δ

của với đường tròn đường kính AB. Khi đó ta có AP AQ. AM AM. ' AH AB.Mặt khác

Hình 2.19

AH AB AE EH AB AE AE EB AE

²

và AH AB AF FH AB AF AF FB AF

²

Suy ra AP AQ. AE

²

AF

²

Do đó P, Q thuộc đường tròn (S) tiếp xúc với AE, AF ở E, F. Vì (S) là đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường tròn (C). Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R. Giả sử M là điểm di động trong đường tròn (O). Nối AM, BM, CM lần lượt cắt (O) tại A', B', C'. Tìm tập hợp điểm M MA MB MCsao cho MA MB MC 3. ' ' 'Lời giải(hình 2.20)

2

2

2

3 Ta có ĐT B'MA MA MB MB MC MC'. '. '.3 (*) C'M OB CA'

Hình 2.20

P

M O

MA MA MB MB MC MC MO

²

R

²

Suy ra

/( )

'. '. '.(*) MA

²

MB

²

MC

²

3 MO

²

R

²

(1) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm GO. Ta có: MA MB MC MG GA MG GB MG GC

2

2

2

2

MG MG GA GB GC GA GB GC3 2MG GA GB GC( )Từ (1) và (2) ta có 3MG

²

GA

²

GB

²

GC

²

3 MO

²

R

²

1

2

2

2

2

2

2

MG MO R GA GB GC3

2

2

MI IG MI IO R GA GB GC2 2 1MI IO R GA GB GC1 1MI R GA GB GC IO2 6MI kTrong đó k

²

1R

²

1 GA

²

GB

²

GC

²

IO

²

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R k.