10. PHƠNG TRÌNH CÓ DẠNG

2.10. Phơng trình có dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó

a b c d2

, m = (d - a)(d - b)(d - c).

* Cách giải :* Chú ý: Trên thực tế, nhiều phơng trình bậc cao phải biến đổi mới đa về cácdạng cơ bản nói trên * Ví dụ 1: Giải phơng trình x

⁴

– 5x

²

+ 6 = 0 (1)* Lời giải:Đặt x

²

= y (y  0)  (1)  y

²

– 5 y + 6 = 0y 2  y 3 (y – 2)(y – 3) = 0  + Nếu y = 2  x

²

= 2  x 2+ Nếu y = 3  x

²

= 3  x 3* Ví dụ 2: Giải phơng trình: x

⁴

– 5x

³

+ 6x

²

– 5x + 1 = 0 (2) (Đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Hng Yên , năm 1996 - 1997) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (2), chia cả hai vế của (2) cho x

²

 0 ta đợc 5 1

2

x 5x 6 0    x x1 1   x 5 x 6 0           (*)

2

2

y x x y 2     Đặt (*)  y

²

– 5y + 8 = 0Xét  = 25 – 40 < 0  phơng trình đã cho vô nghiệm.* Ví dụ 3: Giải phơng trình x

⁵

+ 4x

⁴

+ x

³

+ x

²

+ 4x +1 = 0 (3)* Lời giải:(2)  (x + 1)(x

⁴

+ 3x

³

– 2x

²

+ 3x + 1) = 0x 1      

4

3

2

x 3x 2x 3x 1 0 (*) Giải (*) : x

⁴

+3x

³

– 2x

²

+ 3x + 1 = 0Ta thấy x = 0 không là nghiệm của (*), chia cả 2 vế của (*) cho x

²

 0 ta đợc: 3 1x 3x 2 0    x 3 x 2 0               ta đợc y

²

+ 3y - 4 = 0  y

1

= 1, y

2

= -4x 1 1 x   x

²

- x + 1 = 0  PT vô nghiệm- Nếu y

1

= 1  x 1 4 x   x

²

+ 4x + 1 = 0  x

^1,2

 2 3- Nếu y

2

= -4  * Ví dụ 4: Giải phơng trình (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)

²

= 6 (4) (Đề thi vào THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, năm 2006 - 2007)(3x 4)(x 1)(6x 7)  

2

6(6x 8)(6x 6)(6x 7)  

2

72 (*)Đặt 6x + 7 = t, ta có:(*)  (t 1)(t 1)t 

²

72 t

⁴

 t

²

 72 0  t 36x 7 3 x 2   3- Với t = 3, ta có 6x 7 3 x 5   - Với t = -3, ta có * Bài toán trên ta cũng có thể giải theo cách sau:(3x 7x 4)(6x 7)  6 (**)Đặt ^{t 3x}

²

^{7x 4}  ^36x

²

84x 49 12t 1   , khi đó (**) trở thành:t 3 

1

12t t 6 0 4    t 23 3 t 3x 7x 4 12x 28x 19 0        4 4- Với  PT vô nghiệmx 52 2 3t 3x 7x 4 9x 21x 10 0          3 3 2 x 3* Ví dụ 5: Giải phơng trình (x

²

3x2)(x

²

7x12) 24 (5) (Đề thi vào THPT Chuyên SPNN Hà Nội, năm 2004 - 2005)(x 3x 2)(x 7x 12) 24 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 24 0      (x 5x 4)(x 5x 6) 24 0Đặt ^tx

²

^{5x 4} ta đợc:t 6

2

1

t 2t 24 0t 4 - Nếu ^{t 6 x}

²

^{5x 10 0 }  PT vô nghiệmt 4  x 5x 0  x 0 ; x 5- Nếu

1

2

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 0 ; x = -5 * Ví dụ 6 : Giải phơng trình: x

⁴

- 3x

³

- 2x

²

+ 6x + 4 = 0 (6)Ta thấy x = 0 không là phơng trình của (6)  ta chia cả hai vế của (1) chox

2

0, ta đợc: 6 4    4 2       2 4y x x y 4Ta đợc phơng trình y

²

- 3y + 2 = 0Nhẩm nghiệm ta đợc y

1

= 1, y

2

= 2x 2 1 x x 2 0       xx 2- Nếu y

1

= 1  x 2 2 x 2x 2 0 x 1 3