HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU

2. Hai phân thức bằng nhau.

A C

B = D nếu AD = BC.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU

Phương pháp giải

Để chứng minh ^{A C}

B = D ta chứng minh AD = BC.

Ví dụ 1. (Bài 1, trang 36 SGK)

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , chứng tỏ rằng:

+ =

5 20

y xy

x x x

) 7 28

a = x ; ) ^{3 ( 5) 3}

b x

+ ;

2( 5) 2

+ + +

− − = − +

2 ( 2)( 1)

x x x

x x x x

− = − ; )

²

²

²

^{3 2}

d x x

c x x

) 1 1

+ − ;

2

1 1

+ = +

3

) 8 2

e x x

− + ;

2 4

x x

Giải

a) Ta có 5 .28 y x  7.20 xy nên 5 20

7 28

= x ;

b) Vì ^{2.3 x x}  ^{  5}  ^{3 .2 x}  ^{x  5}  ^{nên 3 ( 5) 3}

x

c) Ta có  ^{x  2}   ^x

²

^{   1}  ^{ x 2  x  1  x  1  nên}

2

− = − ;

d) Ta có:  ^x

²

^{  x 2}  ^{ x   1  x}

³

^{ 2 x}

²

^{  x 2 ;}

 ^{x  1}   ^x

²

^{ 3 x   2}  ^x

³

^{ 2 x}

²

^{  x 2 .}

Do đó  ^{x  1}   ^x

²

^{ 3 x   2}   ^x

²

^{  x 2}  ^{ x  1  suy ra:}

²

²

²

^{3 2}

+ −

8 2

e) Vì ^x

³

^{   8}  ^{x 2}   ^x

²

^{ 2 x  4}  ^nên

2

³

Ví dụ 2. (Bài 2, trang 36 SGK)

Ba phân thức sau có bằng nhau không:

− ; ^x

²

₂

^{4 x 3}

− +

− −

2 3

+ ; ^{x 3}

− .

Ta có: x

− 2 x − = 3 x

− − 1 2 x − = − 2 ( x 1)( x + − 1) 2( x + 1)

= ^{( x} + ^{1)( x} − ³⁾ .

( 1);

x + = x x x +

4 3 1 4 4 ( 1)( 1) 4( 1)

x − x + = x − − x + = − x x + − x −

= ( x − 1)( x − 3);

( 1)

x − = x x x − .

Ba phân thức trở thành:

− ; ^{( 1)( 3)}

( 1)( 3)

+ ; ^{x 3}

( 1)

+ − = −

Vì ( x + 1)( x − 3) x = ( x − 3)( x + 1) x nên ^{( 1)( 3) 3}

+

− = ^{( 1)( 3)}

Và  ^{x  3}  ^{x  1}  ^{x }  ^{x  1}  ^{x  3}  ^{x nên x 3}

− ;

Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau.

Ví dụ 3. (Bài 3, trang 36 SGK)

Cho ba đa thức: x

²

− 4 x , x

+ 4, x

²

+ 4 x . Hãy chọn một đa thức rồi điền vào

chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:

...

16 4

x = x

Ta có x

− = − 16 ( x 4)( x + 4) . Gọi chỗ trống là đa thức A, ta có:

   4    4   4 . 

A x x x x

Vậy A  x x   4   x

²

 4 x .

Dạng 2. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN), GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) CỦA

PHÂN THỨC

• T = a + [f(x)]

≥ 𝑎: Giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0.

• T = b – [f(x)]

≤ 𝑏 : Giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.

Nếu a > 0, T > 0 thì a

T nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) khi T lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).

3 + x −

Ví dụ 4. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: 2 1

14

b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: 4

²

4

15

4

2

4

Giải

có GTNN khi 3 + 2 x − 1 có GTNN.

a) Vì mẫu thức là 14 > 0 nên phân thức 2 1

Vì nên 2 x − ≥ 1 0 nên 3 + 2 x − ≥ 1 3 , suy ra 3 + 2 x − ≥ 1 3 có GTNN bằng 3 khi 2x – 1

= 0, tức là ¹

x = 2 . Khi đó GTNN của phân thức bằng ³