NÂNG CAOA) V ỚI HAI SỐ NGUYÊN A VÀ B, TA CÓ

Question

2. Nâng caoa) V ới hai số nguyên a và b, ta có: a > b    a b 0; a   b a - b  0.b) Giá tr ị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệtđối của chúng: | a   b | | a |  | b | , v ới mọi a, b và a  b  a  b khivà ch ỉ khi a và b cùng dấu hoặc khi a = 0, hoặc khi b = 0.c) Giá tr ị tuyệt đối của một hiệu hai số nguyên lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệtđối của chúng: | a   b | | a | | b |  , v ới mọi a, b  và a – b  a  b khivà ch ỉ khi a   b 0 ho ặc a   b 0 .II. M ỘT SỐ VÍ DỤD ạng 1. Chứng minh các tính chấtVí d ụ 1. Ch ứng tỏ rằng a – b và b – a là hai số đối nhau. Gi ải Để chứng minh a – b và b – a là hai số đối nhau ta chứng minh tổng của chúng bằng 0. Th ật vậy:  a – b    b – a      a     b       + b     a        a     a         b    b     0  .V ậy a – b và b – a là hai số đối nhau. Nh ận xét: T ừ kết quả trên ta suy ra:   a – b   b – a  và a – b  b – a  .Ví d ụ 2.  Ch ứng tỏ rằng: Số đối của một tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng. Xét hai s ố nguyên a, b. Số đối của tổng a và b là: -(a + b) và tổng hai số đối của chúng là: (-a) + (-b). Để chứng minh (-a) + (-b) là số đối của a + b, ta chứng minh tổng của chúng bằng 0. Th ật vậy:           a b         a b        a     a           b   b    0 .V ậy:    a b          a b .Nh ận xét: Tương tự ta cũng có: Số đối của một hiệu hai số bằng hiệu hai số đối của chúng. T ức là:    a b          a b .D ạng 2. Tính giá trị của biểu thức Ví d ụ 3.  Tính h ợp lí: P      123     77    257     23 – 43  .Ta có: P      123     77    257     23   – 43 . Cách 1:                  P 123 257 43 77 23          423 100 323. Cách 2:    P 123 23 257 43 77                    100 300 77 400 77 323.Nh ận xét:• Vi ệc chuyển từ phép trừ về phép cộng là để ta có thể áp dụng các tính chất của• Ở cách 1, ta đã cộng các số cùng dấu với nhau trước. Cách này có ưu điểm là hạnch ế việc nhầm dấu .• Ở cách 2, ta kết hợp từng nhóm có tổng là các số tròn trăm. Cách này có ưu điểmlà có th ể nhẩm ra kết quả.Ví d ụ 4. Tính h ợp lý : Q  48  48  174    74 .  Gi ải Q  48 | 126 |     74  48 126 74    100.Vì 48 174   0 nên | 48 174 |     48 174    174 48. Do đó: Q  48 174 48     74  48 48   174 74    0 100  100.Nh ận xét: Trong cách 2, ta đã sử dụng tính chất đã chứng minh ở trên để bỏ dấu ngo ặc. Sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta kết hợp thành từng nhóm có kết quả là số trong trăm. Dùng cách này ta có thể nhẩm được kết quả. D ạng 3. Tìm số chưa biết Ví d ụ 5.  Tìm ch ữ số a, biết:    a5     85   150  .Áp d ụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, ta có:    a5     85    a5  85 Suy ra:   a5  85    150  hay  a5  85  150  a5  150 85   65  .V ậy a = 6. Ví d ụ 6.  Tìm x , bi ết: a) | x 1 |       3 17 b) | x |       4 3  .Gi ảia) Ta có: | x 1 |       3 17    | x 1 | 17 3    | x 1 | 17 3 20    x 1 20Ta có hai trường hợp: • N ếu x – 1  20 thì x  20  1  21• N ếu x – 1   20  thì x       20    1     19  . V ậy x {21; 19}.  b) Ta có: | x |       4 3    | x | 3 4   | x | 1Vì | x | 0   và -1 < 0 nên không có giá tr ị nào của x để  x   1.Ví d ụ 7.  Cho x và y là hai s ố nguyên cùng dấu thỏa mãn x  y  12 . Tínhx  y Gi ải Vì x và y cùng d ấu nên ta có: x  y  x  y . Do đó: x  y  12 . Vì 12 > 0 nên ta có hai trường hợp: x  y  12 và x  y   12 . V ậy x + y =  12 . Nh ận xét: Vì x và y cùng d ấu nên ta có thể chia làm hai trường hợp: • x và y cùng dương: Khi đó: x  x, y  y và do đó ta có x  y  12 . • x và y cùng âm: Khi đó: x   x, y   y và do đó ta có        x y  12  .Vì        x y    x  y   , nên   x  y   12  . T ức là số đối của x + yb ằng 12. Suy ra x  y   12 . III. BÀI T ẬP

Answer

2. Nâng caoa) V ới hai số nguyên a và b, ta có: a > b    a b 0; a   b a - b  0.b) Giá tr ị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệtđối của chúng: | a   b | | a |  | b | , v ới mọi a, b và a  b  a  b khivà ch ỉ khi a và b cùng dấu hoặc khi a = 0, hoặc khi b = 0.c) Giá tr ị tuyệt đối của một hiệu hai số nguyên lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệtđối của chúng: | a   b | | a | | b |  , v ới mọi a, b  và a – b  a  b khivà ch ỉ khi a   b 0 ho ặc a   b 0 .II. M ỘT SỐ VÍ DỤD ạng 1. Chứng minh các tính chấtVí d ụ 1. Ch ứng tỏ rằng a – b và b – a là hai số đối nhau. Gi ải Để chứng minh a – b và b – a là hai số đối nhau ta chứng minh tổng của chúng bằng 0. Th ật vậy:  a – b    b – a      a     b       + b     a        a     a         b    b     0  .V ậy a – b và b – a là hai số đối nhau. Nh ận xét: T ừ kết quả trên ta suy ra:   a – b   b – a  và a – b  b – a  .Ví d ụ 2.  Ch ứng tỏ rằng: Số đối của một tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng. Xét hai s ố nguyên a, b. Số đối của tổng a và b là: -(a + b) và tổng hai số đối của chúng là: (-a) + (-b). Để chứng minh (-a) + (-b) là số đối của a + b, ta chứng minh tổng của chúng bằng 0. Th ật vậy:           a b         a b        a     a           b   b    0 .V ậy:    a b          a b .Nh ận xét: Tương tự ta cũng có: Số đối của một hiệu hai số bằng hiệu hai số đối của chúng. T ức là:    a b          a b .D ạng 2. Tính giá trị của biểu thức Ví d ụ 3.  Tính h ợp lí: P      123     77    257     23 – 43  .Ta có: P      123     77    257     23   – 43 . Cách 1:                  P 123 257 43 77 23          423 100 323. Cách 2:    P 123 23 257 43 77                    100 300 77 400 77 323.Nh ận xét:• Vi ệc chuyển từ phép trừ về phép cộng là để ta có thể áp dụng các tính chất của• Ở cách 1, ta đã cộng các số cùng dấu với nhau trước. Cách này có ưu điểm là hạnch ế việc nhầm dấu .• Ở cách 2, ta kết hợp từng nhóm có tổng là các số tròn trăm. Cách này có ưu điểmlà có th ể nhẩm ra kết quả.Ví d ụ 4. Tính h ợp lý : Q  48  48  174    74 .  Gi ải Q  48 | 126 |     74  48 126 74    100.Vì 48 174   0 nên | 48 174 |     48 174    174 48. Do đó: Q  48 174 48     74  48 48   174 74    0 100  100.Nh ận xét: Trong cách 2, ta đã sử dụng tính chất đã chứng minh ở trên để bỏ dấu ngo ặc. Sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta kết hợp thành từng nhóm có kết quả là số trong trăm. Dùng cách này ta có thể nhẩm được kết quả. D ạng 3. Tìm số chưa biết Ví d ụ 5.  Tìm ch ữ số a, biết:    a5     85   150  .Áp d ụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, ta có:    a5     85    a5  85 Suy ra:   a5  85    150  hay  a5  85  150  a5  150 85   65  .V ậy a = 6. Ví d ụ 6.  Tìm x , bi ết: a) | x 1 |       3 17 b) | x |       4 3  .Gi ảia) Ta có: | x 1 |       3 17    | x 1 | 17 3    | x 1 | 17 3 20    x 1 20Ta có hai trường hợp: • N ếu x – 1  20 thì x  20  1  21• N ếu x – 1   20  thì x       20    1     19  . V ậy x {21; 19}.  b) Ta có: | x |       4 3    | x | 3 4   | x | 1Vì | x | 0   và -1 < 0 nên không có giá tr ị nào của x để  x   1.Ví d ụ 7.  Cho x và y là hai s ố nguyên cùng dấu thỏa mãn x  y  12 . Tínhx  y Gi ải Vì x và y cùng d ấu nên ta có: x  y  x  y . Do đó: x  y  12 . Vì 12 > 0 nên ta có hai trường hợp: x  y  12 và x  y   12 . V ậy x + y =  12 . Nh ận xét: Vì x và y cùng d ấu nên ta có thể chia làm hai trường hợp: • x và y cùng dương: Khi đó: x  x, y  y và do đó ta có x  y  12 . • x và y cùng âm: Khi đó: x   x, y   y và do đó ta có        x y  12  .Vì        x y    x  y   , nên   x  y   12  . T ức là số đối của x + yb ằng 12. Suy ra x  y   12 . III. BÀI T ẬP