CHO TAM GIÁC NHỌN ABC CÓ ĐƯỜNG CAO AH. GỌI M, N LẦN LƯỢT LÀ CÁC...

Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB

và AC. Gọi giao điểm của MN với AB và AC lần lưọt là F và E. Chứng minh rằng:

a) Năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Ba đường thẳng AH, BE và CF đồng qui.

Lời giải

a) AMB = AHB (c.c.c) nên  AMB AHB     90

Suy ra M. H cùng thuộc đường tròn đường kính AB (1)

Ta có AM = AN (= AH) nên AMN cân tại A do đó  AMN   ANM

Mà AEH = AEN (c.c.c)   ANE   AHE

Suy ra  AME AHE   , H và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn AE dưới

một góc bằng nhau

  TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 

 A, M, H, E cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có A, M ,B, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB nên  AEB   90 hay BE  AC (3)

Chứng minh tương tự ta có năm điểm A, F, H, C, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AC nên

 90

AFC   hay CF  AB. (4)

Từ (3) và (4) ta có BE, CF cùng là đường cao trong tam giác ABC nên AH, BE, CF đồng qui.