CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN TÂM O ĐƯỜNG KÍNHAB VÀ ĐIỂM MBẤT KỲ TRÊN NỬ...

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm

O

đường kính

AB

và điểm

M

bất kỳ trên nửa đường tròn

(

M

khác ;

A B

). Trên nửa mặt phẳng bờ

AB

chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến

Ax

.Tia

BM

cắt

Ax

tại

I

; tia phân giác của



IAM

cắt nửa đường tròn tại

E

, cắt tia

BM

tại

F

,

tia

BE

cắt

Ax

tại

H

, cắt

AM

tại

K

.

a) Chứng minh rằng

EFMK

là tứ giác nội tiếp .

b) Chứng minh rằng



BAF

là tam giác cân .

c) Chứng minh rằng tứ giác

AKFH

là hình thoi.

d) Xác định vị trí

M

để tứ giác

AKFI

nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải

a) Chứng minh rằng

EFMK

là tứ giác nội tiếp.

Xét đường tròn

 

^O

^có:

^

^AEB

^{ }

⁹⁰

(góc nỏi tiếp chắn nửa đường tròn)



90



FEK

 

(kề bù với



AEB

)

+



AMB

 

90

(góc nỏi tiếp chắn nửa đường tròn)



FMK



 

90

(kề bù với



AMB

)

Xét tứ giác

EFMK

có:

 

FEK FMK



    

90

90

180

mà hai góc đối nhau

Nên tứ giác

EFMK

nội tiếp.

b) Chứng minh rằng



BAF

là tam giác cân.

Ta có:

AE

là phân giác của góc

IAM



nên

 

HAE EAM



+ Xét đường trong

 

^O

^có

^

¹

^

HAE



2

sd AE

(tính chất);



1



EAM



2

sd ME

(tính chất)

C

ó

cô

ng

m

ài

s

ắt

c

ó

ng

ày

n

ên

k

im

.

Mà

 

HAE EAM



nên

sd AE sd ME









 

AE ME





AE ME



(liên hệ giuuax cung

và dây)

ABE



2

sd AE

(tính chất góc nội tiếp);



1



EBM



2

sd ME

(tính chất góc nội tiếp)

Mà

sd AE sd ME







Nên

 

ABE EBM





BE

là tia phân giác của



ABF

Xét



ABF

có

BE

là tia phân giác của



ABF

và

BE

là đường cao



^BE

^

^AF



Nên



ABF

là tam giác cân tại

B

.

Ta có:



ABF

là tam giác cân tại

B

(cmt) 

BE

đồng thời là đường trung trực của cạnh

AF

Mà

^





^H

_{K BE}



^

^BE

^

^





^{HA HF}

_{KA KF}



^

 

¹

Xét



AHK

có

AE

là tia phân giác của



IAM

và

^AE

^

^{HK ABE}



^{ }

⁹⁰

 

AHK

là tam giác cân tại

A

Do đó:

^AH

^

^AK

 

²

Từ (1) và (2)



AH



AK



KF



HF

Nên tứ giác

AKFH

là hình thoi.

d) Xác định vị trí

M

để tứ giác

AKFI

nội tiếp được một đường tròn.

Để tứ giác

AKFI

nội tiếp đường tròn thì

 

IAF



IKF

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung

FI

của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AKFI

)

Mà

AI

/ /

FK

(

AKHF

là hình thoi) nên

IKF

 



KIA

(so le trong)



IAF

 



KIA

Lại có

 

FAK FIK



(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

FK



của đường tròn ngoại tiếp tứ

giác

AKFI

)

IAM

FIA

Mặt khác

  

  

IAF



FAK





KIA FIK





2

2

Hay

IAM

 



FIA

Xét



IAM

vuông tại

M

có

 

IAM



FIA

 

IAM

vuông cân tại

M

hay



IAM



45





45



MAB





(phụ với



IAM

)

Xét



AMB

có

MAB





45



 

AMB

vuông cân tại

M

Vậy điểm

M

nằm chính giữa

AB

thì tứ giác

AKFI

là tứ giác nội tiếp.

2

2

1