CHO PHƯƠNG TRÌNH16|X+2|+M + P4|X+1|+2M+ 1 − P2|X|+3M+ 2 = 0.CÓ...

Câu 48. Cho phương trình

16

|x+2|+m

+ p

4

|x+1|+2m

+ 1 − p

2

|x|+3m

+ 2 = 0.

Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [−2020; 2020] để phương trình đã cho vô nghiệm?

A. 1010. B. 1011. C. 2021. D. 2022.

Lời giải

Giả sử f (x) =

16

|x+2|+m

+ p

2

|x|+3m

+ 2

ˆ Xét m ≥ 0, ta có

f (x) > 4

|x+2|

·4

m

+2

|x+1|

·4

m

− p

2

|x|+3m

+ 2 = 4

m

(4

|x+2|

+2

|x+1|

− p

2

|x|−m

+ 2

1−4m

)

Ta chứng minh 4

m

(4

|x+2|

+ 2

|x+1|

− p

2

|x|−m

+ 2

1−4m

) > 0, bất phương trình tương

đương

4

|x+2|

+ 2

|x+1|

− p

2

|x|−m

+ 2

1−4m

> 0

Vì vế trái đồng biến trên theo m nên ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

(khi m = 0)

2

|x|

+ 2 > 0 ⇔ 4

|x+2|

+ 2

|x+1|

2

> 2

|x|

+ 2

> 2

|x|

.

Mà 2|x + 2| + |x + 1| − |x| ≥ −1 ⇒ 2

2|x+2|+|x+1|−|x|

≥ 1

2 ⇒ 3 · 2

2|x+2|+|x+1|

Dễ thấy 2

2|x+2|+|x+1|

≥ 2, cộng vế theo vế suy ra 4 · 2

2|x+2|+|x+1|

> 2

|x|

+ 1, ta có

điều phải chứng minh.

Như vậy nếu m ≥ 0 thì f (x) > 0 nên phương trình vô nghiệm

ˆ Xét m ≤ −1, ta có 1 ≤ 16 · 4

2m

nên

f (−2) = 4

m

+ √

4

2m+1

+ 1 − √

2

2+3m

+ 2 ≤ 4

m

+ 4

m

20 − √

2

2+3m

+ 2

= 4

m

(1 + √

2

2−m

+ 2

1−4m

)

| {z }

nghịch biến theom

Mà m = −1 thì 1 + √

2

2−m

+ 2

1−4m

< 0 nên f (−2) < 0, hàm f(x) liên tục

trên R và lim

x→+∞

f(x) = +∞ nên f (x) có nghiệm trên (−2; +∞).

Kết luận: để f(x) vô nghiệm thì m ≥ 0 ⇒ có 2021 giá trị m thỏa.

Chọn C .