4. BẤT ĐẲNG THỨC PTÔLÊMÊ TRANG 66 TRANG 66

9.4. BẤT ĐẲNG THỨC PTÔLÊMÊ

Trang 66

Bất đẳng thức Ptôlêmê được phát biểu như sau: Trong một tứ giác lồi ^ABCD ta có

AB CD . + AD BC . ³ AC BD .

Lấy điểm E trong tứ giác ABCD sao cho

   , 

EBA = DBC EAB = BDC .

Khi đó hai tam giác ABE DBC , đồng

A

dạng nên AB AE . .

AB CD AE BD

BD = CD  =

E

Ta lại có hai tam giác ^{EBC ABD ,} đồng

B

D

dạng nên BC EC . .

BC AD EC BD

BD = AD  =

Từ đó

C

. . ( ) . . .

AB CD + AD BC = BD AE + EC  AB CD + AD BC ³ AC BD .

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi ^E nằm trên đoạn ^AC , nghĩa là khi và chỉ khi

 

CAB = CDB hay ^ABCD là tứ giác nội tiếp.