(DB A1-08PB) CHO HÌNH CHÓP SABC CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ABC VUÔNG CÂN TẠI Đ...

Bài 22: (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,

BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E

của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia đối

của tia BA sao cho ECM

^∧

= α ( α < 90

⁰

) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính thể

tích của khối tứ diện EHIJ theo a; α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.

Giải:

* Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ:

+ Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ. Ta có:

V = ^{1 .}

3 S h , với S là diện tích ∆ IHE và h là chiều cao của khối tứ diện.

+ GT suy ra IJ// SE và IJ= ^{1 1 .2}

2 SE = 2 a a = ; Vì SE ^{⊥ ( ABC ) ⇒ ⊥ IJ ( IHE )} . Vậy h = IJ = a

∆ EBC vuông tại B có EB = ¹

2 AB = a; BC = 2a nên EC = BC

+ BE

= (2 ) a

+ a

= a 5

+ Vì SE ⊥ (ABC) nên HE là hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC), do SH ⊥ CM nên EH

⊥ CM. Vậy tam giác CHE vuông tại H và có ECH ^· = ECM ^· = α

. os · 5. os

⇒ = =

CH CE c ECH a c α

S

1 1

. .sin . 5. 5 os .sin

S

CE CH α a a c α α

2 2

a α

=

⁵

.sin 2

J

4

Do I là trung điểm của CE

S

= a α

nên S = ^{1 5}

.sin 2

C A

2

8

I

Vậy V = ⁵

.sin 2

24

H E

* Tìm ^α để thể tích V của khối tứ diện EHIJ lớn

nhất:

a a

B

α ≤ do α ≤ .

Ta có: V = ⁵

.sin 2 ⁵

( sin 2 1)

24 24

M

Vậy V lớn nhất ⇔ sin 2 α = ⇔ 1 2 α = 90

⇔ = α 45

0966959635