GỌI N LÀ SỐ CÁC SỐ PHỨC Z ĐỒNG THỜI THỎA MÃN IZ   1 2 I  3 VÀ BIỂU...

Câu 20: Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn iz   1 2 i  3 và biểu thức

2 5 2 3 3

T  z   i  z  i đạt giá trị lớn nhất. Gọi M là giá trị lớn nhất của T . Tính tích M n . .

A. M n .  2 13 . B. M n .  6 13 . C. M n .  5 21 . D. M n .  10 21 .

Lời giải

Gọi ^{K x y}  ^;  là điểm biểu diễn cho số phức z x   yi , x y , với z thỏa

iz   i   i z .    2 i 3  z   2 i  3

1 2 3

 ^{x 2} 

 ^{y 1} 

⁹

     ^  ^{x  2} 

^  ^{y  1} 

^{ 9 .}

Suy ra tập hợp điểm K là đường tròn   ^{C tâm I}  ^{ 2;1}  , bán kính R  3 .

T  z   i  z  i  2 KA  3 KB với ^A  ^{  5; 2 ,}  ^B  ^0;3  ^.

Ta có ^{IA    }  ^{3; 3}  ^{, IB  }  ^{2; 2}  ^{. Do đó 2 IA   3 IB   0  , IA  18, IB  8 .}

2 3 2. 2 3. 3

T  KA  KB  KA  KB ^{ 5 2}  ^KA

^{ 3 KB}



Ta lại có

 

 

2 KA  3 KB  2 KA   3 KB   2   KI  IA  3 KI    IB

 

    45 36 24    105 .

5 R 2 IA 3 IB

5 KI 2 IA 3 IB 2 KI 2 IA 3 IB

        

Suy ra T  525  T  5 21 .

Đẳng thức xảy ra khi ^{K }   ^{C và KA  KB}

 K là giao điểm của đường tròn   ^C và trung trực d của cạnh AB .

  ^{: 5 1 0 2 0}

       

  

d  x   y  x y

d I d    R

   

2 2

    ,  ^,  ^{2 1 2 1}

Do đó d và   ^C có hai giao điểm   n 2 và M  5 21 . Vậy M n .  10 21 .

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán 8

Chọn D