(2.5 ĐIỂM)CHO ĐƯỜNG TRÒN(O)ĐƯỜNG KÍNHABVÀ ĐIỂMMBẤT KÌ THUỘC ĐƯỜ...
Bài 6. (2.5 điểm)
Cho đường tròn
(O)
đường kính
AB
và điểm
M
bất kì thuộc đường tròn sao cho
MA MB
M A
.
Kẻ tiếp tuyến tại
A
của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia
BM
ở
N. Tiếp tuyến của đường tròn tại
M
cắt
CN
ở
D.
a) Chứng minh bốn điểm
A, D, M, O
cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh
OD
song song
BM.
c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng
BM
tại
I. Gọi giao điểm
của
AI
và
BD
là
G. Chứng minh ba điểm
N, G, O
thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có:
OM MD
(tính chất tiếp tuyến)
OMD
90
OA AD
(tính chất tiếp tuyến)
OAD
90
Xét tứ giác OMD4 có:
OMD
OAD
90 90 180
Mà hai góc này ở vị trí đối diện
Nên tứ giác OMDA nội tiếp
Hay bốn điểm
A D M O
, , ,
cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét (O) ta có: OD là tia phân giác trong góc
MOA
(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
1
(1)
MOD
AOD
2
AOM
Mà
1
(góc nội tiếp và góc ở tâm củng chắn cung MA) (2)
MBA
2
MOA
Từ (1) và (2) suy ra
1
AOD
ABM
2
MOA
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
OD BM
/ /
(đpcm).
c) Vì
OI AB AN AB
,
OI AN
/ /
Mà O là trung điểm của
AB
OI
là đường trung bình của tam giác ABN
I
là trung điểm của
BN
AI
là trung tuyến của tam giác ABN.
Lại có
OD BM
/ /
(cmt), mà O là trung điểm của
AB
OD
là đường trung bình của tam giác ABN
D
là trung điểm của
AN
BD
là trung tuyến của tam giác ABN.
Mà NO là trung tuyến của tam giác ABC.
Mặt khác ta lại có:
AI BD
{ }
G
Do đó AI, BD, NO đồng qui tại G là trọng tâm của tam giác ABN.
Suy ra
N G O
, ,
thẳng hàng.