TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.COM TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH...

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

DẠNG 2. Chứng minh hệ thức hình học

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

 Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét để lập tỉ lệ thức của các đoạn thẳng.

 Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng hay nhân theo vế các đẳng thức hình học.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hình thang _{ABCD ( AB CD  )} có _O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng

qua _O song song với hai đáy cắt _{AD BC ,} lần lượt ở _E và _F . Chứng minh rằng _{OE OF } .

Lời giải (hình 274)

A B

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho EO DC OF DC  _,  và _{AB DC } ,

ta được:

E F

O

 

EO AO

      

DC AC

OF BO EO OF EO OF

.

  

DC BD DC DC

D C

AO BO



AC BD

Ví dụ 2. Cho hình thang _{ABCD ( AB CD  )} . Một đường thẳng qua giao điểm _O của hai đường

chéo và song song với hai đáy, cắt _BC ở _I . Chứng minh rằng ^{1 1 1}

AB CD   OI .

Lời giải (hình 275)

A

B

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho OI AB OI DC  _,  , ta được:

OI CI

O I

AB  CB (1); ^{OI BI}

DC  BC (2).

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:

1 1 1

OI OI BI IC BC 1

AB CD   BC   BC   AB CD   OI .

Ví dụ 3. Cho hình thang _{ABCD (} AB CD AB CD  _,  ₎ có _O là giao điểm của _AC và _BD , _I là

giao điểm của _AD và _BC . Đường thẳng _IO cắt _AB và _CD theo thứ tự ở _M và _N . Chứng minh

rằng _M là trung điểm của _{AB N ,} là trung điểm của _CD . Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.

Lời giải (hình 276)

Đặt AM a MB b DN c NC d  _,  _,  _,  .

Ta phải chứng minh _{a b c d  , } .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho AM CN MB ND  _,  và AM DN MB NC  _,  , ta được:

AM MO

I

  

AM MB

CN ON

, hay ^{a b a c}

 

MB MO CN ND

c    d b d (1);

a b

ND ON

M

AM IM

DN IN

, hay ^{a b a d}

MB IM DN NC

d    c b c (2).

d c

N

NC IN