CHO HÌNH THANG ABCD CÓ  A D  , 90 1AB AD 2CD. GỌI M LÀ...

Câu 4. Cho hình thang ABCD có  A D  , 90 1AB AD 2CD. Gọi M là trung điểm của CD. a) Tứ giác ABCM ABMD, là hình gì? Vì sao? b) Cho AC cắt BM tại E và AM cắt BD tại O. Gọi N là trung điểm MC. Chứng minh tứ giác DOEN là hình thang cân. c) Kẻ DI vuông góc với ^{AC I AC}



^



^{, DI cắt AM ở H. Gọi K} là giao điểm của AM và DE. Chứng minh: DHDK. Lời giải

A B

O E

D M C

N

   (đn). +) Vì M là trung điểm của CD (gt) 1MD MC 2CDMà 1AB AD 2CD(gt) AB AD MD MC   . +) Do ABCD là hình thang (gt) AB CD ^(đn). +) Xét tứ giác ABCM có: AB MC ^{(vì AB CD} ^{), AB MC (cmt)} tứ giác ABCM là hình bình hành (dhnb). +) Xét tứ giác ABMDcó: AB MD ^{(vì AB CD} ^{), AB MD (cmt)} tứ giác ABMD là hình bình hành (dhnb). Mà AD MD D , 90 tứ giác ABMD là vuông (dhnb). +) Vì tứ giác ABCM là hình bình hành (cmt) Hai đường chéo AC BM, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (t/chất) E là trung điểm của đoạn thẳng BM. +) Vì tứ giác ABMD là vuông (cmt) Hai đường chéo AM BD, bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (t/chất) O là trung điểm của đoạn thẳng BD và OD OM . +) Xét BDM có: E là trung điểm của đoạn thẳng BM, O là trung điểm của đoạn thẳng BD(cmt) OE là đường trung bình của BDM (định nghĩa).   ^{(t/chất) OE} ^DN. OE DM+) Chứng minh tương tự ta được EN là đường trung bình của AMC (định nghĩa).   ^{(t/chất) END OMD } (2 góc đồng vị) (1). EN AM+) Ta lại có OD OM (cmt)  ODM cân tại O ODM^{ }OMD(2). Từ (1) và (2) ODN END. +) Xét tứ giác DOEN có OE DN^{, ODN END (cmt)} tứ giác DOEN là hình thang cân (dhnb).

I

H

K

+) Vì E là trung điểm của đoạn thẳng BM(cmt)EB EM (định nghĩa). Vì tứ giác ABMD là vuông (cmt)  ABM DMB 90 (t/chất). +) Xét ABE và DME có: AB DM ,  ABE DME  90 , EB EM (cmt)     (c.g.c) BAE MDE (2 góc tương ứng) (3) ABE DME+) Vì ^{DIAC gt}

 

^{ AID} vuông tại I ^{ }ADI DAI  90 (t/chất) Mà   BAE DAI BAD 90 nên  ADI BAE (4) Từ (3) và (4)  ADIMDE+) Vì tứ giác ABMD là vuông (cmt) DB là tia phân giác của ADM (t/chất).  ADB MDB     ADI IDB MDE EDB   IDB EDB  (vì  ADI MDE) DB là tia phân giác của IDE hay DO là tia phân giác của HDK. +) Vì tứ giác ABMD là vuông (cmt) DB AM (t/chất) +) Xét DHKcó DO vừa là đường phân giác vừa là đường cao  DHK cân tại DDH DK(đpcm).