HÌNH THOI CÓ HAI ĐƯỜNG CHÉO BẰNG NHAU LÀ HÌNH VUÔNG.B. BÀI TẬP.BÀI...
5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
B. BÀI TẬP.
Bài toán 1 : (Vinschool) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), trung
tuyến AM. Kẻ MN, MP vuông góc với AB , AC (N
∈AB, P
∈AC).
a) Tứ giác ANMP là hình gì ? Vì sao?
b) Chứng minh NA = NB ; PA = PC và tứ giác BMPN là hình bình hành.
c) Gọi E là trung điểm của BM, F là giao điểm của AM và PN. Chứng
minh : tứ giác ABEF là hình thang cân và MENF là hình thoi.
Bài toán 2 : (Vinschool) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Các điểm
M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, AC, CH, BH.
a) Chứng minh : NP // MQ.
b) Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNPQ là hình vuông.
Gợi ý : c) để HCN (câu b) MNPQ là hình vuông cần 2 cạnh kề bằng nhau là
MN = NP. Từ đó các bạn đi chứng minh AH = BC. Vậy điều kiện tam giác ABC
có đường cao AH bằng cạnh đáy BC.
Bài toán 3 : (Vinschool) Cho hình thoi MNPQ, gọi I là giao điểm của hai
đường chéo. Vẽ đường thẳng qua M song song với NQ, vẽ đường thẳng qua N
song song với MP. Hai đường thẳng đó cắt nhau tại A.
a) Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh rằng : AI = MQ.
c) Tìm điều kiện của hình thoi MNPQ để tứ giác AMIN là hình vuông.
Gợi ý : c) AMIN là hình chữ nhật (câu a) nên để AMIN là hình vuông MN là
phân giác của AMI MNI = 45. Mà MP là phân giác của góc AMN QMN
= 90. hình thoi MNPQ là hình vuông thì AMIN là hình vuông.
Bài toán 4 : (Vinschool) Cho AH là đường cao của hình thang cân ABCD
(AB // CD ; AB < CD). Lấy điểm M sao cho CM = AB. Gọi K là điểm đối xứng
với A qua H.
a) Chứng minh : Tứ giác ABCM là hình bình hành.
b) Chứng minh : ADKM là hình thoi.
c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A trên KD và KM. Chứng minh EF //
CD.
d) Chứng minh rằng : Nếu tứ giác ADKM trở thành hình vuông thì AD
⟘CB.
Gợi ý :
Bài toán 5 : (Vinschool) Cho tam giác ABC vuông tại B. Gọi M, N, E lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC.
a) Tứ giác BMEN là hình gì? Vì sao?
b) Qua B vẽ Bx // AC, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt Bx tại H.
Chứng minh ba điểm A, N, H thẳng hàng.
c) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác BMEN là hình vuông.
Bài toán 6 : Cho hình bình hanh ABCD có AD = 2AB , B = 120
0
. Gọi M, N
theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm J đối xứng với A qua B.
a) Chứng minh : ABMN là hình thoi.
b) Chứng minh : AJMN là hình thang cân.
c) Chứng minh : BJCD là hình chữ nhật.
d) Tính số đo góc AMD.
Bài toán 7 : (Vinschool) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi E là
điểm đối xứng với H qua trung điểm K của AB.
a) Tứ giác AHBE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ACHE là hình gì? Vì sao?
c) Tứ giác ACHK là hình gì? Vì sao?
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AHBE là hình vuông?
Bài toán 8 : (Vinschool) Cho tam giác ABC với đường cao BM và CN cắt
nhau tại H. Lấy D đối xứng với H qua trung điểm O của BC.
a) chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Chứng minh tứ giác BMCD là hình thang vuông.
c) Chứng minh : BAC + BDC = 180
o