(3,0 ĐIỂM) A) TÍNH SỐ ĐO COD  . CHỨNG MINH CÁCAĐIỂM C, I,...

Bài 5: (3,0 điểm) a) Tính số đo COD  . Chứng minh các

A

điểm C, I, K, D cùng thuộc một đường tròn và AC = BD.

Ta có: COD   2 CAD    2 45 ⁰  90 ⁰ (liên hệ giữa góc nội

45

tiếp và góc ở tâm)

B

Tứ giác CDKI có:

O

F

  ^{90 0}  ^, 

CID  CKD  AC  BD CK  AD

E

I

Vậy tứ giác CDKI là tứ giác nội tiếp, nên các điểm C, I, K,

K H

D cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

D

C

 ⁰  ⁰  

AID AID IAD gt

: 90 , 45

   nên  AID vuông cân

tại I   ADI  45 ⁰

Do đó  ACB   ADI  45 ⁰ (góc nội tiếp cùng chắn cung  AB của đường tròn (T))

  45 ⁰ / /

     tứ giác ABCD là hình thang

ACB CAD AD BC

Mặt khác tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp (gt), nên tứ giác ABCD là hình thang cân

 AC = BD (đpcm)

b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R

   nên  AKC vuông cân tại K   ACK  45 ⁰

AKC AKC KAC gt

Do đó  ACK   ACB  45 ⁰  CI là phân giác BCH 

Mặt khác CI  BH (gt) nên  BCH cân tại C  CI là trung trực của BH hay CA là trung trực

của BH (a)

Chứng minh tương tự có DK là trung trực của EH hay DA là trung trực của EH (b)

Từ a) và b) suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE (đpcm)

* Tính IK theo R Ta có BCE     ACB  ACK  45 ⁰  45 ⁰  90 ⁰

Nên BE là đường kính của đường tròn (T)  BE  2 R

: 1

   (CI là trung trực của BH)

BHE IB IH 2 BH

1

KE  KH  2 EH (DK là trung trực của EH)

2 2 2

BHE IK BE R R

     

Nên IK là đường trung bình của 1 1

c) IK cắt AB tại F. Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB = CF.CD

Ta có IA = ID (  AID vuông cân tại I), OA = OD = R (gt)

Nên IO là trung trực của AD  IO  AD hay IO  AK (c)

Tương tự KA = KC (  AKC vuông cân tại K), OA = OC = R (gt)

Nên KO là trung trực của AC  KO  AC hay KO  AI (d)

Từ c) và d)  O là trực tâm  AIK (đpcm)

Ta có  ABE   ACE   ACK  45 ⁰ (góc nội tiếp cùng chắn cung  AE của đường tròn (T))

  45 ⁰

AFK  ABE  (KI // BE, vì IK là đường trung bình của  BHE )

Do đó  AFK   ACB  45 ⁰ hay BFI    BCI  45 ⁰ , nên tứ giác BICF nội tiếp

 180 ⁰  180 ⁰ 90 ⁰ 90 ⁰

     

BFC BIC

Xét BFC và DKC:  ^{BFC }  ^{DKC  90 0}  ^{gt cmt ,}  ^{; CBF   CDK } (tứ giác ABCD nội tiếp)

CK CB CF CD

Vậy BFC DKC (g.g)  CB CD

CF  CK     (đpcm)