XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ CỦA M ĐỂ CHU VI TỨ GIÁC ACDB ĐẠT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
7.
Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
y
x
D
/
I
M
C
N
A
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB
O
B
= DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia
phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90
0
.
Theo trên COD = 90
0
nên tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM
2
= CM. DM,
AB
2
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
.
4
Theo trên COD = 90
0
nên OC ⊥ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực
của BM => BM ⊥ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính
CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ⊥ AB; BD
⊥ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình
thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của
hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC ⊥ AB => IO ⊥ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường
kính CD
CN
=
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
CM
CN
=
AC