ÉAMB = 900 ( NỘI TIẾP CHẮN NỬA ĐƯỜNG TRÒN ) => ÉKMF = 900 (VÌ LÀ HAI GÓC KỀ BÙ)
1. Ta có : éAMB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> éKMF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
éAEB = 90
0
( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> éKEF = 90
0
(vì là hai góc kề bù).
=> éKMF + éKEF = 180
0
. Mà éKMF và éKEF là hai góc đối của tứ giác EFMK do đó
EFMK là tứ giác nội tiếp.
X
I
F
M
H
E
K
1
2
2
1
O
B
A
Ta có éIAB = 90
0
( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông tại A
có AM ⊥ IB ( theo trên).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI
2
= IM . IB.
Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => éIAE = éMAE => AE = ME (lí do ……)
=> éABE =éMBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác góc ABF.
(1)
Theo trên ta có éAEB = 90
0
=> BE ⊥ AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là
trung điểm của AF. (3)
Từ BE ⊥ AF => AF ⊥ HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác
éHAK (5)
Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung
tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung
điểm của mỗi đường).
(HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình
thang.
Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân.
AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB.
Thật vậy: M là trung điểm của cung AB => éABM = éMAI = 45
0
(t/c góc nội tiếp ). (7)
Tam giác ABI vuông tại A có éABI = 45
0
=> éAIB = 45
0
.(8)
Từ (7) và (8) => éIAK = éAIF = 45
0
=> AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy bằng
nhau).
Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.