PHƯƠNG PHÁP A) TAM GIÁC VUÔNG NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN CÓ ĐƯỜNG KÍNH LÀ C...

Bài 4:

Phương pháp

a) Tam giác vuông nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền của nó.

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và dấu hiệu: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Chú ý: Tam giác nội tiếp đường tròn mà có 1 cạnh là đường kính của đường tròn thì tam giác đó là tam

giác vuông.

c) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

d) Sử dụng kết quả câu b), câu c) và bất đẳng thức Cô-si cho hai số a, b không âm: a b   2 ab

Dấu = xảy ra   a b.

Cách giải:

Trang 6

a) Chứng minh 4 điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.

Vì tam giác OAC vuông tại A nên nó nội tiếp đường tròn đường kính CO (1)

Lại có OMC vuông tại M (do MC là tiếp tuyến tại M) nên nó nội tiếp đường tròn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2)  A C M O , , , cùng thuộc một đường tròn có đường kính CO (đpcm).

b) Chứng minh AC  BD  CD và tứ giác MEOF là hình chữ nhật.

+) Xét đường tròn   ^O có CM và CA là hai tiếp tuyến cắt nhau nên AC  CM (tính chất hai tiếp tuyến

cắt nhau)

Và DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DM  DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AC  BD  CM  MD  CD (đpcm)

+) CM Tứ giác MEOF là hình chữ nhật

Ta có: CM  CA (cmt); OM  OA  R nên OC là đường trung trực của đoạn AM  OC ⊥ AM tại

E MEO . (3)

   90

Tương tự ta có MFO   90 (4)

Xét AMB nội tiếp đường tròn   ^O có AB là đường kính nên MAB vuông tại M  EMF   90 (5)

Từ (3), (4) và (5)  tứ giác MEOF là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.

Do MEOF là hình chữ nhật   COD vuông tại O.

Có CD là tiếp tuyến của   ^{O  MO ⊥ CD tại M.}

Suy ra MO là đường cao của COD , do đó CM MD .  OM

 R

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Từ ý a) ta có AC  CM BD ;  MD  AC BD .  CM MD .  R

(không đổi) (đpcm).

d) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

Ta có: AC, BD là tiếp tuyến của   ^{O  AC ⊥ AB BD ; ⊥ AB  AC ∥ BD}

Do đó: ABCD là hình thang vuông có AB là đường cao.

Trang 7

    





Khi đó ta có: ¹   ^{1 . 1}   ^{1 .2. . 2}

S

AB AC BD AB CD AB AC BD AB AC BD R

2 2 2 2

(do theo câu b) ta có CD  AC  BD và theo câu c) ta có AC BD .  R

)

Nên min S

 2 R

 CD  AB  CD ∥ AB  MO ⊥ AB (do MO ⊥ CD )

 M là điểm chính giữa của cung AB.