(1,0 ĐIỂM).  + ≥ + A AA A ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SC...

Câu 10 (1,0

đ

i

ể

m).



+

≥

+



a

a





Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:

1

²

2

²

(

¹

²

)

²

ta có



+



b

b

b

b





1

2

1

2

( )

²

+

=

+

≥

+

=

2

2

2 1

2

1

2

1

3

+

+ +

+

+ +

+

+

+ +

4

a

b

a

b

3

c

8

a

2

b

a

b

3

c

9

a

3

b

3

c

3

a

b

c

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

²

(

^{a+ +b 3c}

)

^{=8a+2b⇔ =a c}

Mặt khác, theo đánh giá không âm:

(

^b

⁻

^c

)

²

^{≥ ⇔}

⁰

^b

²

⁺

^c

²

^≥

²

^bc

^⇔

²

(

^b

²

⁺

^c

²

)

^{≥ +}

⁽

^b

^c

⁾

²

^⇔

²

^b

²

⁺

²

^c

²

^{≥ +}

^b

^c

≥

+

+ +

=

+

+ +

P

a

b

c

a

b

c

Khi đó, biểu thức P được viết lại thành

⁵

^.

³

^{2 5 3}

( )

⁵

^{2 5 3}

( )

+ +

+ +

3 3

3

a

b

c

a

b

c

Đặt

t

=

3

a

+ + >

b

c

0

suy ra

^P

^{f t}

( )

⁵

^{2 5}

^t

≥

= +

t

=

−

=

−

= ⇔ =

⇔ =

1

5

5 5

t

t

Xét hàm số

^{f t}

( )

^{ta có}

( )

2

²

2

²

'

0

5 5

5

f

t

t

t

t

t

t

t

t

5

5

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

^{P≥ f t}

( )

^{≥ f}

( )

^{5 =11}

. Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 11.

= =



⇔ = = =

a

b

c



+ + =

Dấu xảy ra khi và chỉ khi

1

3

5



.

^{Ý t}

^ưở

^ng

^để

^gi

^ả

^{i quy}

^ế

t bài toán.

Quan sát biểu thức, trước hết nhận thấy rằng có sự

đối xứng giữa trong biểu thức

2b

²

+2c

²

do đó nghĩ

ngay đến đánh giá

2b

²

+2c

²

≥ +b c

, một trong những đánh giá quen thuộc. Khi đó biểu thức cuối cùng trở

thành:

^{2 5 3a}

(

^{+ +b c}

)

và đến đây, kinh nghiệm đi thi đó là nhìn thấy biểu thức độc lập thì sẽ dồn biến về

nó, do vậy bài này cần dồn về biến

t

=

3

a

+ +

b

c

.

Vì thế, cần đánh giá biểu thức

2

1

+

+ +

về biến, đây là biểu thức phân số, không khó để ta nghĩ

4

a

b

+

a

b

3

c

tới

bất

đẳng

thức

Cauchy

–

Schwarz

nhưng

rõ

ràng

đánh

giá

sao

cho

(

⁴

) (

³

) (

³

)

m a+ +b n a+ +b c =k a+ +b c

.