TRONG QUÁ TRÌNH BIẾN ĐỔI, GIẢ SỬ TRÊN BẢNG CÓ DÃY SỐ A ; A ; ....
Bài 20. Trong quá trình biến đổi, giả sử trên bảng có dãy số
a ; a ; ...; a
1
2
n
Ta xét biểu thức sau:
P
=
(
a 2 a
1
−
)(
2
−
2 ... a
) (
n
−
2
)
. Ta chứng minh su mỗi lần xóa thì giá trị biểu
thức P giảm đi hai lần.
.519 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
| ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN
Giả sử ta xóa đi hai số a và b khi đó tích P mất đi thừa số
(
a 2 b 2
−
)(
−
)
nhưng khi thay
a b
ab 2
bằng
a b
+ −
1
ab
+ −
1
− =
a 2 b 2
2
thì tích P có thêm thừa số
(
−
)(
−
)
2
2
giảm đi một nửa
nên P giảm đi một nửa. Khi xóa đi hai số và thay bằng một số nên sau mỗi lần xóa trên bảng giảm
đi một số.
Mà trên bảng có 2014 số nên sau 2013 lần xóa thì P giảm đi
2
2013
lần.
Khi đó ta có giá trị
P
=
(
1 2 2 2 ... 2014 2
−
)(
−
) (
−
)
=
0
Giả sử số còn lại trên bảng là x khi đó ta có
P x 2 0
= − = ⇒ =
x 2
Vậy số cuối cùng trên bảng là 2.