GỌI S LÀ TỔNG CỦA TẤT CẢ CÁC SỐ TRÊN BẢNG. LÚC ĐẦU TA CÓ S 1 2...

Bài 5. Gọi S là tổng của tất cả các số trên bảng. Lúc đầu ta có

^{S 1 2 3}

^{= + + +…+}

^{2n n 2n 1}

⁼

(

⁺

)

^là

một số lẻ vì n là một số lẻ. Ta cần tìm đại lượng bất biến.

Hai số bị xóa đi là a và b, không mất tính tổng quát ta giả sử

a b

>

.

Khi đó số được thay vào là

a b a b

− = −

.

TỦ SÁCH CẤP 2| 512

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

Như vậy sau mỗi lần thực hiện thuật toán như trong đầu bài đã nói thì S sẽ bị giảm đi một một đại

lượng có giá trị bằng

^{a b a b}

^{+ − −}

(

)

⁼

^2b

là một số chẵn. Vì thế tính chẵn lẻ của S được giữ nguyên

sau mỗi lần thực hiện xáo hai số trên bảng. Trong trường hợp trên thì S luôn là một số lẻ và vì thế

khi trên bảng còn lại một số thì số đó là số lẻ .