TÌM TẤT CẢ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ PCÓ DẠNG A2B2C2 VỚI A B C, , LÀ CÁC SỐ TỰ NHIÊN SAO CHO4 4 4A B C CHIA HẾT CHOP

1. Tìm tất cả các số nguyên tố

p

có dạng

a

²



b

²



c

²

với

a b c

, ,

là các số tự nhiên sao cho

4

4

4

a



b



c

chia hết cho

p

. Lời giải Nhận xét: do

p

là số nguyên tố nên trong 3 số

a b c

, ,

phải có ít nhất 2 số không nhỏ hơn 1. Theo đề bài, ta cần tìm số nguyên tố

p

có dạng sau:

2

2

2

pa b c với

a b c

, ,



. Do

a b c

, ,

có vai trò như nhau nên không giảm tổng quát, ta có thể giả sử ^{cmin a b c}



^{, ,}



^. Rõ ràng

^p

^|



^a

²

^

^b

²

^

^c

²



²

. Khai triển ta có

^p

^|



^a

⁴

^

^b

⁴

^

^c

⁴

^

²

^{a b}

²

²

^

²

^{b c}

²

²

^

²

^{a c}

²

²



^. Theo giả thiết ban đầu ta có

a

⁴



b

⁴



c

⁴

chia hết cho

p

. Do đó ta suy ra được

^p

^{| 2}



^{a b}

²

²

^

²

^{b c}

²

²

^

²

^{a c}

²

²



. Xảy ra 2 trường hợp như sau: Trường hợp 1:

p

| 2

. Trong trường hợp này, hiển nhiên

p



2

là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán. Khi đó



^{a b c, ,}

 

^{ 1,1, 0}



và các hoán vị của chúng là các giá trị thỏa mãn đề bài.Trường hợp 2:

^p

^|



^{a b}

²

²

^

^{b c}

²

²

^

^{a c}

²

²



^{. (1)}Mà pa

²

b

²

c

²

nên ta suy ra được

^{p c}

^|

²



^a

²

^

^b

²

^

^c

²



^hay

^p

^|



^{a c}

²

²

^

^{b c}

²

²

^

^c

⁴



^(2).Từ (1), (2) ta suy ra được p c| (

⁴

a b

²

²

). Ta lại có

c

⁴



a b

²

²





^c

²

^

^ab



^c

²

^

^ab



. Để ý rằng 0c

²

ab p và

p

là số nguyên tố nên

4

2

2

| ( )p c a b khi và chỉ khi

^p

^|



^c

²

^

^ab



^. Mặt khác, ta có đánh giá sau:

c

²



ab



c

²



ab



a

²



b

²



c

²



p

. Vậy

^p

^|



^c

²

^

^ab



khi và chỉ khi

c

²



ab



0

hay

c

²



ab

. Do ^{cmin a b c}



^{, ,}



nên dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Thay a b cgiả thiết pa

²

b

²

c

²

ta được p3a

²

. Do

p

là số nguyên tố nên giá trị tự nhiên duy nhất của a thỏa yêu cầu bài toán là a1. Khi đó

p



3

. Vậy

p



2

hoặc

p



3

là 2 số nguyên tố duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.