1. BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS – MORDELL. CHO TAM GIÁC ABC VÀ M LÀ MỘT Đ...
8.1. BẤT ĐẲNG THỨC ERDOS – MORDELL.
Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Gọi R R R
a,
b,
ctheo thứ tự là khoảng cách từ M đến các đỉnh A B C , , . Còn d d d
a b c, , lần lượt là khoảng
cách từ M đến các cạnh BC CA AB , , .
Khi đó ta có bất đẳng thức R
a+ R
b+ R
c³ 2( d
a+ d
b+ d
c)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ tam giác ABC đều, và M là tâm của tam giác đều đó.
Bất đẳng thức Erdos – Mordell (E – M) là một bất đẳng thức khá nổi tiếng trong tam
giác, được nhà toán học nổi tiếng người Hungari P. Erdos đề xuất vào năm 1935, khi
nghiên cứu các tính chất của tam giác. Bị lôi cuốn bởi tính giản dị của bài toán, P. Erdos
lao vào chứng minh, song vinh dự giải được bài toán đó không thuộc về ông, mà thuộc
về nhà hình học nổi tiếng người Anh tên là Louis Mordel. L. Mordell đã chứng minh bất
đẳng thức này bằng phương pháp lượng giác (sử dụng định lí Sin và định lí Cosossin).
Mãi đến năm 1945, nhà toán học người Nga Cadarinop mới đề xuất được một lời giải
thuần túy hình học có thể chấp nhận được. Tiếp theo đó, nhiều nhà toán học trên thế giới
đã nêu được những lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức. Chẳng hạn bằng cách sử dụng
định lý Ptolemy của André Avez; sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng của Leon
Bankoff; sử dụng bất đẳng thức về diện tích của V. Komornik; sử dụng lượng giác của
Barrow; …
Sau đây là một lời giải thuần túy hình học phù hợp với trình độ các bạn HS lớp 9.
Chứng minh bất đẳng thức E – M
AĐặt BC = a AC , = b AB , = c . Lấy điểm M
1đối xứng với điểm M qua đường phân giác trong
của góc BAC . Dựng BH ^ AM CK
1, ^ AM
1. Giả
sử AM
1cắt BC tại D .
MM
1
Khi đó BD ³ BH ; DC ³ CK .
KĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AD ^ BC hay
B CHAM
1^ BC . Từ đó ta có:
2 2
a ³ BH + CK aR ³ S + S ( AM
1= AM = R
a) hay aR
a³ cd
b+ bd
ca ABM ACM1
1