2HA = OO HB = OO HC = OO (CÓ THỂ O3O21 2 3CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG...

Question

2 , 2 , 2HA = OO HB = OO HC = OO  (có thể O3O21 2 3chứng minh các đẳng thức này bằng cách kẻ các C1H Ođường kính của đường tròn ( ) O  qua  A B C , ,  rồi sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác). B CA1O1+  Áp  dụng  E  –  M  cho  điểm  H   trong  tam  giác ABC  ta có: HA HB HC+ + £ = + +HA HB HC + + OO OO OO1 1 1 2 1 2 3+ Áp dụng E – M cho điểm O  trong tam giác  ABC  ta có: 3OA OB OC+ + £ =  (đpcm). OO OO OO + + R2 2Chú ý: Tổng hợp các kết quả của Ví dụ 8 và Ví dụ 9 ta có dãy bất đẳng thức  1 1 1 1 2 3 1 2 3HA + HB + HC £ OO + OO + OO £ 2 R £ HO + HO + HOVí dụ 10. Cho tam giác  ABC  và  M  là một điểm bất kì trong tam giác đó. Gọi  R a ,b , cR R   lần  lượt  là  khoảng  cách  từ  M   đến  các  đỉnh  A B C , , .  Còn  d d da b c, ,   lần  lượt  là khoảng cách từ  M  đến các cạnh  BC CA AB , , .  æ ö÷d d d d d dç ÷+ + ³ ç ç çè + + ÷ ÷÷ ø   Chứng minh bất đẳng thức  a b c 2 b c c a a bd d dR R Ra b cGiải.  Gọi  A B C 1 , 1 , 1   theo  thứ  tự  là  chân  các Ađường  vuông  góc  kẻ  từ  M   lên  các  cạnh BC CA AB .  , ,A2C1 B1Ta có  B C 1 1 = MA . sin A = R a . sin A , C A = R B  và  A B 1 1 = R c .sin C . MC21 1 b . sinKẻ  MA 2 ^ B C MB 1 1 , 2 ^ C A MC 1 1 , 2 ^ A B 1 1 .  B2B CA1Khi đó MB MC d d. .  1 1= = = =    (1) . sin . sin b cMA MB MB A MB MAC2 1 1 2 1 1MA RaTrang 59 MA MC d d= = = =    (2) . sin . sin a cMB MC MC B MC MBAMB RbMB MA d d= = = =     (3) . sin .sin b aMC MA MAC MA MCBMC RcÁp dụng E – M cho điểm  M  trong tam giác  A B C 1 1 1  ta có: ( )MA + MB + MC ³ MA + MB + MC   (4) 1 1 1 2 2 2 2Từ (1), (2), (3), (4) suy ra đpcm. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

2HA = OO HB = OO HC = OO (CÓ THỂ O3O21 2 3CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG...

2 , 2 , 2

HA = OO HB = OO HC = OO (có thể

1 2 3

chứng minh các đẳng thức này bằng cách kẻ các

đường kính của đường tròn ( ) O qua A B C , , rồi sử

dụng tính chất đường trung bình trong tam giác).

+ Áp dụng E – M cho điểm H trong tam giác

ABC ta có:

HA HB HC

+ + £ = + +

HA HB HC + + OO OO OO

1 1 1 2 1 2 3

+ Áp dụng E – M cho điểm O trong tam giác ABC ta có:

3

OA OB OC

+ + £ = (đpcm).

OO OO OO + + R

2 2

Chú ý: Tổng hợp các kết quả của Ví dụ 8 và Ví dụ 9 ta có dãy bất đẳng thức

1 1 1 1 2 3 1 2 3

HA + HB + HC £ OO + OO + OO £ 2 R £ HO + HO + HO

Ví dụ 10. Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì trong tam giác đó. Gọi R a ,

b , c

R R lần lượt là khoảng cách từ M đến các đỉnh A B C , , . Còn d d d

, , lần lượt là

khoảng cách từ M đến các cạnh BC CA AB , , .

æ ö÷

d d d d d d

ç ÷

+ + ³ ç ç çè + + ÷ ÷÷ ø

Chứng minh bất đẳng thức a b c 2 b c c a a b

d d d

R R R

a b c

Giải. Gọi A B C 1 , 1 , 1 theo thứ tự là chân các

A

đường vuông góc kẻ từ M lên các cạnh

BC CA AB .

, ,

Ta có B C 1 1 = MA . sin A = R a . sin A ,

C A = R B và A B 1 1 = R c .sin C .

M

1 1 b . sin

Kẻ MA 2 ^ B C MB 1 1 , 2 ^ C A MC 1 1 , 2 ^ A B 1 1 .

B C

Khi đó

MB MC d d

. .

  1 1

= = = = (1)

. sin . sin b c

MA MB MB A MB MAC

2 1 1 2 1 1

MA R

a

Trang 59

MA MC d d

= = = = (2)

. sin . sin a c

MB MC MC B MC MBA

MB R

b

MB MA d d

= = = = (3)

. sin .sin b a

MC MA MAC MA MCB

MC R

c

Áp dụng E – M cho điểm M trong tam giác A B C 1 1 1 ta có:

( )

MA + MB + MC ³ MA + MB + MC (4)

1 1 1 2 2 2 2

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra đpcm.

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bạn đang xem 2 , - Tài liệu chuyên Toán THCS -

Ví dụ 10. Cho tam giác ABC và M là một điểm bất kì trong tam giác đó. Gọi R _a ,

R R lần lượt là khoảng cách từ ^M đến các đỉnh ^{A B C} ^{, ,} . Còn ^{d d d}

^{, ,} lần lượt là

khoảng cách từ ^M đến các cạnh ^{BC CA AB} ^, ^, .

Chứng minh bất đẳng thức _a _b _c 2 ^{b c} ^{c a} ^{a b}

Giải. Gọi A B C ₁ , ₁ , ₁ theo thứ tự là chân các

Ta có B C _{1 1} = MA . sin A = R _a . sin A ,

C A = R B và A B _{1 1} = R _c .sin C .

1 1 _b . sin

Kẻ MA ₂ ^ B C MB _{1 1} , ₂ ^ C A MC _{1 1} , ₂ ^ A B _{1 1} .

  ₁ ₁

. sin . sin ^{b c}

. sin . sin ^{a c}

. sin .sin ^{b a}

Áp dụng E – M cho điểm M trong tam giác A B C _{1 1 1} ta có: