CHO HÌNH VUÔNG ABCD. TRÊN CẠNH BC LẤY ĐIỂM M, QUA A KẺ AN AM...
Bài 4. Cho hình vuông
ABCD
. Trên cạnh
BC
lấy điểm
M
, qua
A
kẻ
AN
AM
(điểm
N
thuộc tia đối
của tia
DC
). Gọi
I
là trung điểm của
MN
. Chứng minh rằng:
A
B
2
3
a)
AM AN
.
M
1
b) Ba điểm
B I D
, ,
thẳng hàng.
Lời giải
I
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông
ABCD
, ta được:
N
D
C
A B D
B D
0
90
Hình 105a
1
2
2
3
0
A A
A
A
A
AB AD
ABM
ADN
(c-g-c).
AB AD
A
A
3
1
Do đó
AM AN
.
b)
Cách 1 (hình 105a): Nối
IA IC
,
thì
IA
và
IC
lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của
hai tam giác vuông
AMN CMN
,
.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên và định nghĩa hình
vuông ta được
IA IC
1
2
MN
.
BA BC
Điều này chứng tỏ hai điểm
B
và
I
cách đều hai điểm
A
và
C
nên
BI
là đường trung trực của đoạn
AC
.
Mặt khác theo tính chất về đường chéo của hình vuông thì
BD
là trung trực của
AC
mà đoạn
AC
thì chỉ có
một đường trung trực nên
BI
trùng với
BD
hay
B I D
, ,
thẳng hàng.
Cách 2 (hình 101): Qua
M
kẻ
MP BD
(1) (điểm
P DC
) suy ra
DI MP
(2).
Lại có
NI
MI
(3) theo giả thiết. Từ (2) và (3) suy ra
ND DP
(4)
H
theo định lí đường trung bình.
Từ (3) và (4) ta có
DI
là đường trung bình của tam giác
NMP
.
Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác
NMP
ta được
DI MP
(5).
N
D
P
C
Hình 105b
Từ (1) và (5) suy ra
B I D
, ,
thẳng hàng, vì từ điểm
I
ở ngoài đường
thẳng
MP
chỉ kẻ được một đường thẳng song song với
MP
.
Cách 3: Qua
M
kẻ
MH ND
(1) (điểm
H BD
) thì
D
1
H
1
(2) do đồng vị.
Mà
BD
là đường chéo của hình vuông
ABCD
nên
BD
là đường phân giác của hai góc vuông
B
và
D
do
đó
D
1
H
1
45
0
(3).
Từ (2) và (3) ta có
BM MH
(4) vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng
nhau.
Kết hợp (1) với (4) ta được tứ giác
NHMD
có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình
hành.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành
NHMD
, ta được đường chéo
DH
đi qua trung điểm
I
của đường chéo
NM
nên
BD
đi qua
I
.
Điều đó chứng tỏ
B I D
, ,
thẳng hàng.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN SỐ 1
7.
Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Gọi
E
là một điểm nằm giữa
C
và
D
. Tia phân giác của góc
DAE
cắt
CD
ở
F
. Kẻ
FH
AE
(
H AE FH
),
cắt
BC
ở
K
.
a) Tính độ dài
AH
.
b) Tính số đo góc
FAK
.
8.
Cho hình vuông
ABCD
. Gọi
M N
,
lần lượt là trung điểm của
BC CD
,
và
I
là giao điểm của
AN DM
,
.
Chứng minh rằng:
a)
AN
DM
;
b)
BA BI
.
9.
Cho một hình vuông cạnh dài
1
m
. Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm
cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này.
10. Cho hình vuông
ABCD
. Trên tia đối của tia
CB
lấy điểm
M
, trên tia đối của tia
DC
lấy điểm
N
sao
cho
BM
DN
. Vẽ hình bình hành
MANF
, gọi
O
là trung điểm của
AF
. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác
MANF
là hình vuông.
b)
F
thuộc tia phân giác của góc
MCN
.
c)
AC CF
.
d) Tứ giác
BOFC
là hình thang.
Dạng 3. Tìm điều kiện để một hình trở thành hình vuông
Phương pháp giải
-sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình vuông.
-nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm vị trí của một điểm nào đó để một hình trở thành hình vuông ta làm như sau:
giả sử hình đó là hình vuông rồi dựa vào các tính chất của hình vuông để chỉ ra vị trí cần tìm.