(1,0 ĐIỂM) TRÊN NỬA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG KÍNH AD LẤY HAI ĐIỂM...

Câu 32. (1,0 điểm) Trên nửa đường tròn đường kính AD lấy hai điểm , B C phân biệt sao cho B ở giữa

A và C ( B khác A và C khác D ). Gọi E là giao điểm của AC và BD ; F là chân đường vuông

góc kẻ từ E xuống AD . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DCEF nội tiếp được một đường tròn.

b) Hai tam giác CEF và CBA đồng dạng với nhau.

Lời giải

C

B

E

A O D

F

Ta có: C thuộc đường tròn đường kính AD nên  ACD  90

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 90

 ECD 

Vì EF  AD (gt)  EFD   90

  90

  

EFD ECD

 DCEF nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có: DCEF nội tiếp trong một đường tròn (cmt)

  EFC BDC

  (góc nội tiếp cùng chắn cung EC )

Mà   BDC BAC  (góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

  EFC BAC

 

Ta lại có:

  108

ABC ADC   (do ABCD là tứ giác nội tiếp)

FEC ADC   (do DCEF là tứ giác nội tiếp)

  FEC ABC

  (cùng bù  ADC )

Xét  CEF và  CBA có:

  EFC BAC  (cmt)

  FEC  ABC (cmt)

Do đó:  CEF   CBA ^(g.g)