TỪ ĐIỂM M Ở NGỒI ĐƯỜNG TRỊN (O) VẼ CÁT TUYẾN MCD KHƠNG ĐI QUA TÂM O VÀ...

Bài 8: Từ điểm M ở ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA

và MB đến đường trịn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) CMR: MA

= MC. MD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường trịn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn.

Suy ra AB là phân giác của ^{CHD } .

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O). CMR: 3 điểm A,

B, K thẳng hàng.

HD:

a) CMR:MA = MC. MD

:

+ ^{ MAC} và ^{ MDA} cĩ:

MDA:chung



 

   

  

MAC MDA (cùng chắn AC)  ^{ MAC  MDA} (g.g)

 MA  MC  MA

 MC.MD

MD MA (đpcm)).

b) CMR:5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường trịn:

+ (O) cĩ:

 I là trung điểm của dây CD  OI CD   OIM   90

nhìn đoạn OM (1)

 MA OA  (T/c tiếp tuyến)  OAM   90

nhìn đoạn OM (2)

 MB OB  (T/c tiếp tuyến)  OBM   90

nhìn đoạn OM (3)

Từ (1), (2) và (3)  5 điểm M, A, I, O, B  đường trịn đường kính OM.



   c) CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn. Suy ra AB là phân

. ( )

MA MC MD cmt

giác của ^{CHD } :

+ ^{ OAM} vuơng tại A ^ MA

= MO. MH

Mà:

MH MC

 

MD MO

^ MO. MH = MC. MD

+ và ^{ MDO} cĩ:

 :

DOM chung

  

   MHC ^{ MDO} (c.g.c)

MHC MDO MHC CDO

   

     

  180

  

Mà:MHC CHO (kề bu)ø  CDO CHO     180

 

Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường trịn (đpcm)

* CMR: AB là phân giác của ^{CHD } :

+ ^{ COD} cĩ OC = OD = R  ^{ COD} cân tại O

CDO DCO MDO DCO

Mà:OHD DCO (cùng chắn OD của đường tròn nội tiếp tứ giác CHOD)

MDO OHD

   

OHD MHC

Mà:MDO MHC (cmt) (1)

90

AHC MHC

   

    

AHD OHD (2)

+ Mặc khác:

AHC AHD

  

    

Mà: AHC AHD CHD Từ (1) và (2) 

Suy ra: HA là tia phân giác của CHD   AB là tia phân giác của CHD  (đpcm).

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường trịn (O). CMR: 3 điểm A, B, K

thẳng hàng:

+ Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại C và D của (O)

+ CK OC  (T/c tiếp tuyến)  OCK   90

nhìn đoạn OK (1)

+ DK OD  (T/c tiếp tuyến)  ODK   90

nhìn đoạn OK (2)

Từ (1), (2)  Tứ giác OCK nội tiếp đường trịn đường kính OK

 OKC ODC (cùng chắn OC) 

OKC MHC

OKC MDO

 

  180

  

Mà:MHC MDO(cmt)

Mà: MHC OHC (kề bu)ø

  

 OKC OHC     180

 Tứ giác OKCH nội tiếp đường trịn đường kính OK

 OHK    OCK = 90

(gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

HK MO

  

HK AB

 

  

Mà: AB MO (cmt)  3 điểm A, B, K thẳng hàng (đpcm).