A) TỪ X 2 + Y 2 = 4  2XY = (X + Y) 2 - 4 = (X + Y + 2) (X + Y -...

Câu 1: a) Từ x ²  + y ²  = 4    2xy = (x + y) ²  - 4 = (x + y + 2) (x + y - 2)  

      Vì x + y + 2 ≠ 0 nên xy x + y

   =   - 1

x + y + 2 2        (1) 

Áp dụng BĐT Bunhiacopski,  ta có:  

         x + y ≤  ^{2 x  + y} 

   ^{  x + y ≤}  2 2         (2) 

    2  - 1

Từ (1), (2) ta được:  xy

x + y + 2  . Dấu "=" 

  

x 0, y 0

 

khi  x = y    x = y =  2

. 



 

x  + y  = 4

Vậy   maxA =  2  - 1  . 

b) Vì x ²  + y ²  + z ²  = 2  nên: 

2 2 2 x  + y  + z x  + y  + z x  + y  + z

 +   +   =   +   + 

x  + y y  + z z  + x x  + y y  + z z  + x  

z x y

= 

 +   +   + 3

x  + y y  + z x  + z  

z z

  , 

Ta có x ²  + y ²  ≥ 2xy 

x  + y 2xy

x x

y y

Tương tự 

y  + z  2yz , 

x  + z  2xz  

y

x

z

z  

x  

y  + 3 

  2xy

  + 

Vậy 

x  + z

x  + y + 

y  + z + 

2yz  + 

2xz  + 3 

2 2 2 x  + y  + z

  

 +   +       + 3

x  + y y  + z z  + x  2xyz , đpcm.