XÉT X2+Y2−2 2(X Y) X− = 2+Y2−2 2(X Y) 2 2XY (X Y− + − = − − 2)2 ≥0

55. Cách 1 : Xét

x

²

+

y

²

−

2 2(x y) x

− =

²

+

y

²

−

2 2(x y) 2 2xy (x y

− + −

=

− −

2)

²

≥

0

^.

2

2

2

+

≥

⇔

+

≥

x

y

2

2

2 2

8

2

+ y

²

)

²

– 8(x – y)

²

≥ 0

Cách 2 : Biến đổi tương đương

(

)

(

)

2

−

−

^{⇔ (x}

x y

x y

⇔ (x

²

+ y

²

)

²

– 8(x

²

+ y

²

– 2) ≥ 0 ⇔ (x

²

+ y

²

)

²

– 8(x

²

+ y

²

) + 16 ≥ 0 ⇔ (x

²

+ y

²

– 4)

²

≥ 0.

Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :

+

=

+

−

+

=

−

+

=

− +

≥

−

2

2

2

2

2

x

y

x

y

2xy 2xy

(x y)

2.1

2

1

(x y)

2 (x y).

−

−

−

−

−

(x > y).

x y

x y

x y

x y

x y

+

−

−

+

−

−

=

=

^hoặc

6

2

6

2

=

=

Dấu đẳng thức xảy ra khi

6

2

6

2

x

; y

1 1 1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1 2(c b a



+ +



=

+

+

+



+

+



=

+

+

+

+ +