TAM THỨC KHƠNG ĐỔI DẤU TRÊN \

4) Tam thức khơng đổi dấu trên 

^\

: 

( ) 0,

a

00

g x x

^\

Δ

g x x

^\

Δ     •   ≤ ∀ ∈ ⇔ ⎨ ≤ ^{⎧ <} ⎩  

    •   ≥ ∀ ∈ ⇔ ⎨ ≤ ^{⎧ >} ⎩

    Chú ý: Nếu hệ số a chứa tham số ta phải xét thêm trường hợp a = 0 

 

C – Các dạng tốn cơ bản 

1 – Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.  

¾ b1: Tìm miền xác định D 

¾ b2: Tính đạo hàm 

¾ b3: Tìm nghiệm của đạo hàm và các điểm x

0

 ∈ MXĐ, nhưng đạo hàm tại x

o

 KXĐ (điểm tới hạn ) 

¾ b4: Lập bảng biến thiên   

¾ b5: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến 

Ví dụ 1.1 : Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau  

y x= +

       

a)  y = x

³

 –2x

²

 + x–2    b)  y = − − x

⁴

2 x

²

+ 3     c) 

^{2 1}x −5

2

3

+ +

− +

2

3     f)

y= 2x x−

²

    

2 3

3

    e)  x x

= + +

= −

y x x

d) 

y ^{x x}1x

1

f) y = 

x+ 4−x

²

     h)   y = x 2 − x

²

    i)  y= x + 2cosx , x∈(0; π)      

    Ví dụ 1.2 : Chứng minh hàm số  đơn điệu trên K   

a)  ( ) ¹

³

3

²

9 1

f x

= 3

x

−

x

+

x

+  đồng biến trên  \  

b) f(x) = –x

³

 +(m+1)x

²

 –(m

²

 +2) x +m (m là tham số)  nghịch biến trong tồn miền xác định. 

2

2 1

− −

c) 

( ) x mx

 (m là tham số)  đồng biến trên từng khoảng xác định 

f x x m

d) f(x) = cosx – x nghịch biến trong đoạn [0; 2π] 

e)  f(x) = sinx –x  nghịch biến trên  \  

 

2 – Dạng 2 : Tìm m để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên miền K.  

Cho hàm số  y f x m =

( , )

, m là tham số, cĩ tập xác định D ;  K  ⊂  D 

        •  Hàm số f đồng biến trên K    ⇔   y ′   ≥  0,  ∀ x  ∈  K. 

        •  Hàm số f nghịch biến trên K  ⇔   y ′   ≤  0,  ∀ x  ∈  K. 

Từ đĩ suy ra điều kiện của m. 

Chú ý:    

       +  y ′  = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 

       +  vận dụng kiến thức tam thức bậc hai. 

Ví dụ 2.1 : Tìm m để hàm số  

− ≤ ≤ ) 

a) y = x

³

 –3mx

²

 +(m+2) x –m   đồng biến trên  \           ( 2 1

3 m

b) y = – x

³

 +3mx

²

 +3(1–2m)x –1 nghịch biến trên  \         (m = 1) 

− < < ) 

− ++

  nghịch biến trên từng khoảng xác định      ( 5 2

c) y = 

^{2mx m 10}x m

2 m

+ − + −( )x m x m= +

 đồng biến trên từng khoảng xác định  (

⁹

d) 

²

^{3 2 1 2}m≥8

) 

2

Ví dụ 2.2 : Tìm m để hàm số  

− −= −

   đồng biến trên khoảng (2, +∞).        (–1< m ≤ 2) 

a) 

_y ^{mx 3m 4}

  b) y =  1

 0) 

3 x

³

 +mx

²

 –mx +1  đồng biến trên (–∞; 0)         (m ≤

4

  c) 

y= − −x

³

³x

²

+mx+

  nghịch biến trên (0; +∞)        (m ≤ 0) 

  d) y = x

³

 + 3x

²

 +mx+m  nghịch biến trên một đoạn cĩ độ dài bằng 1.  ( ⁹

m

= 4 ) 

3 – Dạng 3 :  Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: 

•  Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,  ≥ ,  ≤  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do 

đề bài chỉ định. 

•  Xét dấu f ′  (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. 

•  Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. 

Chú ý: