GỌI SỐ PHỨC CÓ DẠNG Z = X + YI, (X, Y ∈ R ). ĐIỀU KIỆN Z 6= −2...
Câu 50. Gọi số phức có dạng z = x + yi, (x, y ∈ R ). Điều kiện z 6= −2i. Ta có: z − 2i
z + 2i = x + (y − 2) i
x + (y + 2) i
= (x
2
+ y
2
− 4)
z + 2i là số ảo ⇒ x
2
+ y
2
− 4 = 0 ⇔ x
2
+ y
2
= 4 ⇔ |z| =
x
2
+ (y + 2)
2
+ −4x
x
2
+ (y + 2)
2
i . Theo đề: z − 2i
2 ⇒ |z
1
| = |z
2
| = 2. Gọi A, B, C và D lần lượt là điểm biểu diễn số phức z
1
, z
2
, 2z
2
và (z
1
+ 2z
2
).
# »
OA
OB
OC = 2 # »
OC = # »
OC
Suy ra # »
OB và # »
OA + # »
OD. Do |z
1
| = |z
2
| = 2 ⇒
= 2
= 4
20 Xét tam giác ∆ OAD có: cos \ OAD = OA
2
+ AD
2
− OD
2
OD
20 ⇒
và |z
1
+ 2z
2
| = √
= √
2OA.AD
OB
= 90
◦
.
= 2
2
+ 4
2
− 20
OA, # »
2.2.4 = 0 ⇔ \ OAD = 90
◦
. Hay AOC [ = 90
◦
⇒ # » \
Gọi E; F và G lần lượt là điểm biểu diễn số phức 2z
1
, iz
2
và −1 . Khi đó ta có ⇒ # »
OE = 2 # »
OA;
OE
=
|2z
1
| = 4;
OF
OG
= |iz
2
| = 2;
= |−1| = 1 . Do B là điểm biểu diễn số phức z
2
và F là điểm biểu
diễn số phức iz
2
nên # »
OB; # »
OF vuông góc với nhau. Do # »
OA; # »
OB vuông góc với nhau nên ta có được
OF cùng hướng hoặc ngược hướng
OA và # »
OE và # »
OF cùng hướng hoặc ngược hướng với nhau, suy ra # »
với nhau. Ta có P = |2z
1
+ iz
2
− 1| = |++|. Do |++| ≤ || + || + || ⇒ P ≤ 4 + 2 + 1 = 7 Dấu bằng xảy
( z
1
= −2
ra khi ; ; cùng hướng ⇔= 2 = 4 ⇔
z
2
= 2i . Vậy M axP = 7 Do |++| ≥ || − |+| ≥ || − (|| + ||)
( z
1
= 2
⇒ P ≥ 4 − 2 − 1 = 1 Dấu bằng xảy ra khi ngược hướng với và ⇔= −2 = −4 ⇔
z
2