CHỨNG MINH RẰNG NẾU N LÀ SỐ TỰ NHIỜN SAO CHO N+1 VÀ 2N+1 ĐỀU LÀ CỎC S...

Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiờn sao cho n+1 và 2n+1 đều là cỏc số chớnh phương thỡ n là bội số của 24.Vỡ n+1 và 2n+1 là cỏc số chớnh phương nờn đặt n+1 = k

²

, 2n+1 = m

²

(k, m  _N)Ta cú m là số lẻ

^

m = 2a+1

^

m

²

= 4a (a+1) + 1

(

4

a

a



)

1

2



1

m

=

^

n = = 2a(a+1)

2



n chẵn

^

n+1 lẻ

^

k lẻ

^

Đặt k = 2b+1 (Với b  _N)

^

_k

²

₌ 4b(b+1) +1

^

n = 4b(b+1)

^

n

^

8 (1)Ta cú k

²

+ m

²

= 3n + 2



2 (mod3)Mặt khỏc k

²

chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m

²

chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Nờn để k

²

+ m

²



2 (mod3) thỡ k

²



1 (mod3) m

²



1 (mod3)



m

²

– k

²

^

3 hay (2n+1) – (n+1)

^

3

^

n

^

3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3)Từ (1), (2), (3)

^

n

^

24.